深度优先搜索算法的通用解法
一、深度优先搜索
深度优先搜索算法(Depth First Search)，是图论中的经典算法。
深度优先搜索算法是沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。当结点所有子结点那一层都被搜索过，再回溯返回到当前结点的邻结点，继续搜索，直到遍历完整棵树。一般采用的是前序遍历，先根然后再左右结点的方式进行。
一些经典的问题，比如八皇后、马走日、迷宫等，都可以通过深度优先搜索算法来解决。
为了方便描述，下文用DFS来做为深度优先搜索算法的简称。
二、我对DFS的认识
对于DFS，我相信很多人第一次接触很难设计出相应的算法，即便是有不错的编程经验。我第一次几乎没办法设计出解决八皇后的算法，即便是想了很久。最后没办法只好参照别人写的递归式的DFS。之后，虽然对这个算法有一点了解，但由于了解不够深度，过了几天就记不得了，下次又完全不知道怎么入手。然后需要再到网上搜下代码，看一遍后大概才双知道。而且发现每次写代码的时候心里总觉得不踏实，一开始总有错误的地方，并且每次写的代码都有些不同。总之，写过很多次后，依然是停留到了解的阶段，没办法进一步提升，特别是非递归式的DFS一直都停留到靠脑力记忆而不是理解的阶段。
今天周末有点时间，觉得有必要解决这些问题，试着花时间去归纳总结DFS的本质，看能否做到一劳永逸。
我设定的目标是：
1、不仅停留到理解阶段，而是要知道这个算法每一步的实现
2、捉住其中的本质，给出这个算法的设计框架。
3、在1与2的基础中，可以熟练写出递归与非递归两种实现方式 。
经过一个下午的研究，我发现任何DFS只需要通过下面几步就可以实现，无论是递归还是非递归方式。我给这几步分别做了一个命名，分别是find、forward、done、back。
如下：
1、find(right):在树的当前层，横向遍历，尝试找到ok的节点。（这一步通常被叫做剪枝，只留下ok的。）
2、forward(down):若在当前层找到ok的结点，并且当前层不是最后一层:把ok的节点放到当前层；进入下一层第一个结点。跳到find
3、done(right):若在当前层找到ok的结点，并且当前层是最后一层：打印出结果；进入当前层的下一个结点。跳到find
4、back(up):在当前层没有找到ok的节点：返回上一层当前结点的下一个兄弟节点。跳到find
其实最重要的是find。然后后面的forward、done、back只是用来控制搜索走向。这四步可以进一步总结成两步。
为了了解算法，我想最好的切入方式是从一些实例开始。下面分别从八皇后以及马走日等问题做为切入点来分析DFS
三、用DFS解八皇后
1、问题描述
八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？
也就是说，使得棋盘中每个横向、纵向、左上至右下斜向、右上至左下斜向均只有一枚皇后。
八皇后有92组解，下面给出其中一种解的图例：
2、 问题分析
规则是每一个皇后与前面的所有皇后不能在同一行、同一列、同一对角线。我们可以从第0行，第0列开始摆放，然后按照深度优先的原则，按照规则往更下面的行摆放皇后，直到摆放完8行。因为解不只一个，当某一行（包括最后一行跟最后一行之前的所有行）的所有列都被尝试过，再回溯返回到上一行，继续深度优先，直到遍历完整个棋盘的所有情况。得出所有的解。
八皇后问题可以看成是在深度为8的8叉树中，找出所有的解。
3、代码实现
递归算法：
#include#include /*八皇后问题是在8*8的棋盘上放置8枚皇后，使得棋盘中每个横向、纵向、左上至右下斜向、右上至左下斜向均只有一枚皇后。 求解出所有摆法,一共有92种摆法*/ const int N = 8; //棋盘行数 int a[N] = {0}; //表示棋盘，若a[2]=2,则表示在第3行第2列放一个皇后，因为同一行不能放两个皇后，所以只需要1维数组就可以表示一个棋盘。 int solution = 0;//解的个数 //row行，col列, 是否可以摆皇后 bool IsOK(int row, int col) { for (int i = 0; i < row; i++) { if (a[i] == col || (abs(a[i] - col) == row - i)) { return false; } } return true; } void Display() { printf("第%d种解：\n",++solution); for (int i = 0; i < N; i++) { for (int j = 0; j < N; j++) { if (a[i] == j) { printf("%d", i); } else { printf("#"); } } printf("\n"); } printf("-----------------\n"); } void DSF(int row) { for (int col = 0; col < N; col++) { //find if (IsOK(row, col)) { a[row] = col; //forward if (row != N -1) { DSF(row + 1); } else { //done Display(); } } } //back } int main() { DSF(0); return 0; }
非递归算法：
#include#include #include using namespace std; /*八皇后问题是在8*8的棋盘上放置8枚皇后，使得棋盘中每个横向、纵向、左上至右下斜向、右上至左下斜向均只有一枚皇后*/ const int N = 8; //棋盘行数 int a[N] = {0}; //表示棋盘，若a[2]=2,则表示在第3行第2列放一个皇后，因为同一行不能放两个皇后，所以只需要1维数组就可以表示一个棋盘。 int solution = 0;//解的个数 struct Node { int row; int col; }; //row行，col列, 是否可以摆皇后 bool IsOK(Node node) { for (int i = 0; i < node.row; i++) { if (a[i] == node.col || (abs(a[i] - node.col) == node.row - i)) { return false; } } return true; } //打印出所有解 void Print() { printf("第%d种解：\n", ++solution); for (int i = 0; i < N; i++) { for (int j = 0; j < N; j++) { if (a[i] == j) { printf("%d", i); } else { printf("#"); } } printf("\n"); } printf("-----------------\n"); } void DSF() { Node node; stack stack; node.row = 0; node.col = 0; stack.push(node); while(stack.size() >= 1) { //--find node = stack.top(); while (node.col < N && !IsOK(node)) { node.col++; } if (node.col < N) { //--forward if (node.row < N-1) { //把ok的节点放到当前层 a[node.row] = node.col; stack.pop(); stack.push(node); //进入下一层的第一个节点 node.row++; node.col = 0; stack.push(node); } else { //--done a[node.row] = node.col; Print(); //进入当前层的下一个结点 //node = stack.top(); node.col++; stack.pop(); stack.push(node); } } else { //--back stack.pop(); if (stack.size() == 0) { return; } node = stack.top(); node.col++; stack.pop(); stack.push(node); } } } int main() { DSF(); return 0; }
三、马走日
1、问题描述
在n*n的棋盘中，马只能走"日"字。马从位置(0,0)出发，把棋盘的每一格都走一次且只走一次。找出所有路径。 5*5的棋盘上，有304种解。
下面是其中一种路径的图例：
2、问题分析
搜索过程是从(0,0)出发，按照深度优先的原则，从8个方向中尝试一个可以走的点，直到尝试过所有的方向，走完棋盘上的所有点，得出所有的解。
马走日问题可以看成是在层数为n*n的8叉树中，找出所有的解。
3、代码实现
同样的，也可以把上面的算法框架，套用于马走日的身上。
递归算法：
#include/*马走日*/ const int N = 5; //棋盘行数跟列数 int matrix[N][N] = {0}; //表示棋盘 int solution = 0;//解的个数 int count = 0; //第几步 int move[8][2]={{-1,-2},{-2,-1}, {-2,1},{-1,2},{1,2},{2,1},{2,-1},{1,-2}};//八个方向 //在棋盘范围内，而且可放棋 bool IsOK(int x, int y) { if(( x <= N-1 ) && (x >=0 ) && (y <= N-1 ) && (y >=0 ) && (matrix[x ][y ]==0 )) { return true; } else { return false; } } //打印出所有解 void Display() { printf("第%d种解：\n",++solution); for (int i = 0; i < N; i++) { for (int j = 0; j < N; j++) { printf("%3d",matrix[i][j]); } printf("\n"); } printf("-----------------\n"); } void DFS(int x, int y) { int nextX, nextY; for (int i = 0; i < 8; i++) { nextX = x + move[i][0]; nextY = y + move[i][1]; //--find if (IsOK(nextX, nextY)) { if (count != N*N -1 ) { //--forward count++; matrix[nextX][nextY] = count; DFS(nextX, nextY); matrix[nextX][nextY] = 0; count--; } else { //--done Display(); } } } //--back } int main() { matrix[0][0] = 1; count = 1; DFS(0, 0); return 0; }
非递归算法：
#include#include using namespace std; /*马走日*/ const int N = 5; //棋盘行数跟列数 int matrix[N][N] = {0}; //表示棋盘 int solution = 0;//解的个数 int count = 0; //第几步 int move[8][2]={{-1,-2},{-2,-1}, {-2,1},{-1,2},{1,2},{2,1},{2,-1},{1,-2}};//八个方向 //注意find这一步当前层的的结点，结点的坐标不是x与y，而通过Node中的x与y与direction三者计算后得到当前层的结点 struct Node { int x; int y; int direction; }; //在棋盘范围内，而且可放棋 bool IsOk(Node node) { int x, y; x = node.x + move[node.direction][0]; y = node.y + move[node.direction][1]; if(( x <= N-1 ) && (x >=0 ) && (y <= N-1 ) && (y >=0 ) && (matrix[x][y]==0 )) { return true; } else { return false; } } //打印 void Print() { printf("第%d种解：\n",++solution); for (int i = 0; i < N; i++) { for (int j = 0; j < N; j++) { printf("%3d",matrix[i][j]); } printf("\n"); } printf("-----------------\n"); } void DFS() { Node node; stack stack; int x, y; count = 1; node.x = 0; node.y = 0; node.direction = 0; matrix[0][0] = count++; stack.push(node); node.direction = 0; stack.push(node); while(stack.size() >= 2) { //--find node = stack.top(); while (node.direction < 8 && !IsOk(node)) { node.direction++; } if (node.direction < 8) { //--forward if (count < N * N) { //把ok的节点放到当前层 stack.pop(); stack.push(node); x = node.x + move[node.direction][0]; y = node.y + move[node.direction][1]; matrix[x][y] = count++; //进入下一层的第一个节点 node.x = x; node.y = y; node.direction = 0; stack.push(node); } else { //--done //打印出结果; x = node.x + move[node.direction][0]; y = node.y + move[node.direction][1]; matrix[x][y] = count++; Print(); //注意先清除当前结点的数据 matrix[x][y] = 0; count--; //进入当前层的下一个结点; node.direction++; stack.pop(); stack.push(node); } } else { //----back //返回上一层当前结点的下一个节点 stack.pop(); if (stack.size() == 1) { return; } node = stack.top(); //注意先清除当前结点的数据 x = node.x + move[node.direction][0]; y = node.y + move[node.direction][1]; matrix[x][y] = 0; count--; node.direction++; stack.pop(); stack.push(node); } } } int main() { DFS(); return 0; }
四、DFS有更多的变种，但都可以通过上面所说的四个步骤云解决。未完，待续。。。。
五、代码：
https://github.com/helloitworks/algorithm/tree/master/dfs