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[原]数学之路-SAS分析(1)

u010255642发表于 2015-04-01 15:20:29

卡方分布（chi-square distribution, χ²-distribution）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是统计推断中应用最为广泛的概率分布之一，例如假设检验和置信区间的计算。

若k个随机变量 $Z_1$ 、……、 $Z_k$ 是相互独立，符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量Z的平方和

X=\sum_{i=1}^k Z_i^2

被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作

X\ \sim\ \chi^2(k) \,

\ X\ \sim\ \chi^2_k

概率密度函数

其中，

是伽玛函数。

期望和方差

分布的均值为自由度 n，记为 E(

) = n。

分布的方差为2倍的自由度(2n)，记为 D(

) = 2n。

性质

分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数 n 的增大，

分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1.

分布的均值与方差可以看出，随着自由度n的增大，χ2分布向正无穷方向延伸（因为均值n越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差2n越来越大）。

3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。

4) 若

互相独立，则：

服从

分布，自由度为

；

服从

分布，自由度为

。

累积分布函数

卡方分布的累积分布函数为：

F_k(x)=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}

，

其中γ(k,z)为不完全Gamma函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：

H=\int_{-\infty}^\infty f(x)\ln(f(x)) dx=\frac{k}{2}+\ln \left( 2 \Gamma \left( \frac{k}{2} \right) \right)+\left(1 - \frac{k}{2}\right)\psi(k/2)

其中 $\psi(x)$ 是双伽玛函数。

伽玛函数（Gamma Function）作为阶乘的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成

。

在实数域上伽玛函数定义为：

在复数域上伽玛函数定义为：

其中

，此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上，非正整数除外。

标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。

标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表（自由度为∞时），借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。

正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0, 尺度参数：标准差为1的正态分布（见右图中绿色曲线）。

正态分布中一些值得注意的量：

密度函数关于平均值对称

平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。

函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。

95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。

99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。

99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。

函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。

非中心卡方分布^[1]^[2]是有正态分布衍生得到的一个概率分布. 设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 为一组独立的随机变量, 并且 $X_i\sim N(\mu_i,1),i=1,2,\cdots,n$ ( X_i

服从正态分布), 定义随机变量 $\xi=\Sigma_{i=1}^nX_i^2$ , 称随机变量 $\xi$ 服从自由度为

, 非中心参数为 $\delta$ 的的非中心卡方分布, 记为 $\xi\sim \chi_{n,\delta}^2$ ; 其中 $\delta=\sqrt{\Sigma_{i=1}^n\mu_i^2}$ . 当 $\delta=0$ 时, 随机变量 $\xi$ 服从自由度为

的卡方分布.

SAS设定自由度和非中心参数计算p分位点的方式如下：

272 data _null_;
273 q=cinv(0.95,10,25.2);*0.95分位数,自由度为10，非中心参数为25.2;
274 put q=;
275 run;

q=54.759186647
NOTE: “DATA 语句”所用时间（总处理时间）:
实际时间 0.00 秒
CPU 时间 0.00 秒

CINV(p, df<, nc>)

Required Arguments

p

is a numeric probability.

Range

0 ≤ p < 1

df

is a numeric degrees of freedom parameter.

Range

df > 0

Optional Argument

nc

is a numeric noncentrality parameter.

Range

nc ≥ 0

Details

The CINV function returns the p^th quantile from the chi-square distribution with degrees of freedom df and a noncentrality parameter nc. The probability that an observation from a chi-square distribution is less than or equal to the returned quantile is p. This function accepts a noninteger degrees of freedom parameter df.

If the optional parameter nc is not specified or has the value 0, the quantile from the central chi-square distribution is returned. The noncentrality parameter nc is defined such that if X is a normal random variable with mean μ and variance 1, X² has a noncentral chi-square distribution with df=1 and nc = μ².

总体正态分布的等距分组的组距确定，即组距相等。

n=1+3.322*LOG(N)

d=R/n

N:总体容量

n:组数

R：总体全距：最大值与最小值之差。

d:组距

data _null_;

N=1000;

n=1+3.322*LOG(N);

mymax=18651;

mymin=1240;

r=mymax-mymin;

d=r/n;

put d;

run;