知识预备

光亮度是物体表面某方向单位投影区域单位立体角的光流量
沿着某条光线的光亮度是常数，但光通量随距离增大而衰减（实际是二次衰减，但在计算机图形学中采用线性衰减效果比较好）

光强度是单位立体角的辐射能量
辐射度是单位面积流出的光通量
辐照度是单位面积流入的光通量

它们的关系：
光强度=光亮度*单位面积*入射角余弦
辐照度=光亮度*入射角余弦*单位立体角
辐射度=光亮度*入射角余弦*单位立体角（但方向不同）

BRDF（Bi-directional Reflection Distribution Function）的含义

光和物体相交，会产生三种情况产生，反射，被吸收，折射， 即是

light incident at surface = light reflected + light absorbed + light transmitted

对于理想固体来说，折射不会产生，就只剩下前两项。

BRDF就是用于描述光与物体相交，光是如何反射的。

BRDF通常用一个数学表达式来表示，来看下它和哪些变量有关。

首先是光的波长 λ ，不同的光产生的反射不同。

其次对于物体的材质，如果不是均一分布的话，BRDF也不同，记材质坐标为u，v。

最后，还和入射光线与出射光线的角度有关。这里角度用球坐标来表示，分别记为和

则有：

已知上面的变量，就可以求出BRDF了

在实际计算中， λ ，u，v通常省略，这样参数就只剩下四个，最后计算的结果是一个三维向量，表示颜色的RGB。

笛卡尔坐标和球坐标的转换

假设向量是经过单位化的

Differential Solid Angles

对于描述光的出射和入射，通常并不是简单的一个光想来表示，比较适合的是用"光量"来表示。

对于一个单位圆，Differential Solid Angles的计算如下

在一个单位圆中，球坐标为θ和Φ，dw为Differential Solid Angles

最后求出的值的单位是弧度的平方，也称为steradians。

BRDF的定义

BRDF规定的是辐照度和光亮度的关系：
对于入射Differential Solid Angles 和出射的Differential Solid Angles ，BRDF就是上的光量比上上的射出的光子总量。

BRDF = 出射辐照度 / 入射光亮度

入射光亮度转换成辐照度，得到

两种类型两个性质

有两种类型的BRDF，isotropic和anisotropic。左边是isotropic，右边是anisotropic。

在真实世界中，大部分的材质都是偏向于各向同性加上一点点的各向异性。

基于物理的BRDF的需要遵循两个性质：reciprocity 和 conservation of energy

reciprocity 指的是交换性，出射角和入射角互换，BRDF不变，即：

conservation of energy指所有出射光的量的总和小于入射光的总和。数学表达式如下

用半球面积分如下

光照方程

在有多个光源的情况下，光照方程如下

在只有一个光源的情况下，光照方程如下

获取BRDF

有三种方法，一种是基于经验公式来获得，比如Lambert和Phong，另一种是基于物理的数值分析模型，它们的形式就是一个数值函数，另一种是Data-Driven的方式，通过实验的方式获取，通过一些光照采集设备。这种方式得到的结果通常是一张表示BRDF的图片。实验的方式如下图。

参考

An Introduction to BRDF-Based Lighting

Bidirectional reflectance distribution function Wiki

Physically Based Shading in Theory and Practice
知乎 - 如何正确理解 BRDF （双向反射分布函数）