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[转]LU分解

u010255642发表于 2015-10-27 16:51:09

设A是一个方块矩阵。A的LU分解是将它分解成如下形式：

$A = LU, \,$

其中L和U分别是下三角矩阵和上三角矩阵。

例如对于一个 $3 \times 3$ 的矩阵，就有

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \\ \end{bmatrix}$ 。

一个LDU分解是一个如下形式的分解：

$A = LDU$

其中D是对角矩阵，L和U是单位三角矩阵（对角线上全是1的三角矩阵）。

一个LUP分解是一个如下形式的分解：

$A = LUP$

其中L和U仍是三角矩阵，P是一个置换矩阵。

一个充分消元的LU分解为如下形式：

$PAQ = LU$

将以下矩阵进行LU分解：

$\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} l_{11} & 0 \\ l_{21} & l_{22} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \\ \end{bmatrix}.$

由于矩阵阶数只是2，可以直接列方程解：

$l_{11}* u_{11} + 0 * 0 = 4$

$l_{11}* u_{12} + 0 * u_{22} = 3$

$l_{21}* u_{11} + l_{22} * 0 = 6$

$l_{21}* u_{12} + l_{22} * u_{22} = 3.$

这个线性方程组有无数多组解。因此，可以假设其中一个是单位三角矩阵，比如说L，也就是说其对角线上的两个系数都是1。这时可以解出：

$l_{21} = 1.5$

$u_{11} = 4$

$u_{12} = 3$

$u_{22} = -1.5$ 。

也就是说

$\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1.5 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 0 & -1.5 \\ \end{bmatrix}.$