k-means（k-均值）算法是一种基于距离的聚类算法，它用质心（Centroid）到属于该质心的点距离这个度量来实现聚类，通常可以用于N维空间中对象。下面，我们以二维空间为例，概要地总结一下k-means聚类算法的一些要点：

• 除了随机选择的初始质心，后续迭代质心是根据给定的待聚类的集合S中点计算均值得到的，所以质心一般不是S中的点，但是标识的是一簇点的中心。
• 基本k-means算法，开始需要随机选择指定的k个质心，因为初始k个质心是随机选择的，所以每次执行k-means聚类的结果可能都不相同。如果初始随机选择的质心位置不好，可能造成k-means聚类的结果非常不理想。
• 计算质心：假设k-means聚类过程中，得到某一个簇的集合Ci={p(x1,y1), p(x2,y2), …,p(xn,yn)}，则簇Ci的质心，质心x坐标为(x1+x2+ …+xn)/n，质心y坐标为(y1+y2+ …+yn)/n。
• k-means算法的终止条件：质心在每一轮迭代中会发生变化，然后需要重新将非质心点指派给最近的质心而形成新的簇，如果只有很少的一部分点在迭代过程中，还在改变簇（如，更新一次质心，有些点从一个簇移动到另一个簇），那么满足这样一个收敛条件，可以提前结束迭代过程。
• k-means算法的框架是：首先随机选择k个初始质心点，然后执行聚类处理迭代，不断更新质心，直到满足算法收敛条件。由于该算法收敛于局部最优，所以多次执行聚类算法，通过比较，选择聚类效果最好的结果作为最终的结果。
• k-means算法聚类完成后，没有离群点，所有的点都会被指派到对应的簇中。

由于k-means算法比较简单，对于算法的实现过程，我们概要地描述如下：

1. 随机选择k个初始质心；
2. 如果没有满足聚类算法终止条件，则继续执行步骤3，否则转步骤5；
3. 计算每个非质心点p到k个质心的欧几里德距离，将p指派给距离最近的质心；
4. 根据上一步的k个质心及其对应的非质心点集，重新计算新的质心点，然后转步骤2；
5. 输出聚类结果，算法可以执行多次，使用散点图比较不同的聚类结果。

下面，我们详细说明上述步骤：

随机选择初始质心

由于随机选择初始质心，每次执行聚类选择的初始质心都不相同，这也导致k-means算法聚类后，没有确定的结果，或者说，可能两次聚类的结果完全不同。该过程的实现，比较简单，只要随机选择给定待聚类点集合中的点即可，初始质心是实际存在的点，代码如下所示：

     @Override
     public TreeSet<Centroid> select(int k, List<Point2D> points) {
          TreeSet<Centroid> centroids = Sets.newTreeSet();
          Set<Point2D> selectedPoints = Sets.newHashSet();
          while(selectedPoints.size() < k) { // 先随机选择k个点
               int index = random.nextInt(points.size());
               Point2D p = points.get(index);
               selectedPoints.add(p);
          }
         
          Iterator<Point2D> iter = selectedPoints.iterator();
          int id = 0;
          while(iter.hasNext()) { // 构造Centroid质心对象，分配一个id作为簇的唯一标识
               centroids.add(new Centroid(id++, iter.next()));
          }
          return centroids;
     }

有一些方法，可以在这一步中，解决初始质心选择的随机性，可以将选择初始质心作为选择策略的设计，根据需要选择不同的策略，比如，可以这样设计策略接口：

public interface SelectInitialCentroidsPolicy {

     TreeSet<Centroid> select(int k, List<Point2D> points);
}

我们这里只给了简单地随机选择策略，也是基本k-means算法最基础的策略。其他方法，可以查阅相关资料。

计算欧几里德距离，指派点到质心所在簇

计算每个非质心点到全部k个质心点的距离，将该非质心点指派给距离最小的质心点所在的簇。如果输出的数据量比较大，可以将数据集合进行分割，基于多线程去并行处理，最后再合并结果。我们的实现思路是：每个线程都共享k个质心的集合，然后将非质心点均匀分发到多个线程的队列中，然后每个线程从队列取出非质心点，计算非质心点到k个质心的距离，并计算出距离最短的质心，将该非质心点指派给该质心所在的簇。实现代码如下所示：

                                   Task task = q.poll();
                                   Point2D p1 = task.point;
                                  
                                   // assign points to a nearest centroid
                                   Distance minDistance = null;
                                   for(Centroid centroid : task.centroids) { // 计算一个非质心点，到k个质心的距离，并计算距离最短的
                                        double distance = MetricUtils.euclideanDistance(p1, centroid);
                                        if(minDistance != null) {
                                             if(distance < minDistance.distance) {
                                                  minDistance = new Distance(p1, centroid, distance);
                                             }
                                        } else {
                                             minDistance = new Distance(p1, centroid, distance);
                                        }
                                   }
                                   LOG.debug("Assign Point2D[" + p1 + "] to Centroid[" + minDistance.centroid + "]");
                                  
                                   Multiset<Point2D> pointsBelongingToCentroid = localClusteredPoints.get(minDistance.centroid); 
                                   if(pointsBelongingToCentroid == null) {
                                        pointsBelongingToCentroid = HashMultiset.create();
                                        localClusteredPoints.put(minDistance.centroid, pointsBelongingToCentroid); // localClusteredPoints是局部的，key为质心，value为属于该质心的非质心点的集合
                                   }
                                   pointsBelongingToCentroid.add(p1);

这样，经过一轮的迭代计算，每个线程都处理完，得到一个局部的指派的簇的集合，然后对每个局部集合进行合并，得到一个全局的、质心到属于该质心的点的簇的集合，作为下一次迭代的输入，也比较容易处理。

迭代终止条件计算

这一步应该算是k-means算法聚类过程中比较核心的步骤。我们考虑了如下3个终止条件：

1. 比较相邻的2轮迭代结果，在2轮过程中移动的非质心点的个数，设置移动非质心点占比全部点数的最小比例值，如果达到则算法终止
2. 为了防止k-means聚类过程长时间不收敛，设置最大迭代次数，如果达到最大迭代次数还没有达到上述条件，则也终止计算
3. 如果相邻2次迭代过程，质心没有发生变化，则算法终止，这是最强的终止约束条件。能够满足这种条件，几乎是不可能的，除非两次迭代过程中没有非质心点重新指派给到另一个不同的质心。

我们计算k-means聚类的核心代码框架，如下所示：

     @Override
     public void clustering() {         
          // start centroid calculators
          for (int i = 0; i < parallism; i++) { // 启动parallism个线程计算距离并指派簇
               CentroidCalculator calculator = new CentroidCalculator(calculatorQueueSize);
               calculators.add(calculator);
               executorService.execute(calculator);
               LOG.info("Centroid calculator started: " + calculator);
          }
         
          // sort by centroid id ASC
          TreeSet<Centroid> centroids = selectInitialCentroidsPolicy.select(k, allPoints); // 随机选择初始质心
          LOG.info("Initial selected centroids: " + centroids);

          // 下面进入迭代过程           
          int iterations = 0;
          boolean stopped = false;
          CentroidSetWithClusteringPoints lastClusteringResult = null; // 上一轮聚类结果
          CentroidSetWithClusteringPoints currentClusteringResult = null; // 当前轮聚类结果
          int totalPointCount = allPoints.size();
          float currentClusterMovingPointRate = 1.0f;
          try {
               // enter clustering iteration procedure
               while(currentClusterMovingPointRate > maxMovingPointRate
                         && !stopped
                         && iterations < maxIterations) { // 3个终止条件约束
                    LOG.info("Start iterate: #" + (++iterations));
                   
                    currentClusteringResult = computeCentroids(centroids); // 每一轮重新计算质心点
                    LOG.info("Re-computed centroids: " + centroids);
                   
                    // compute centroid convergence status
                    int numMovingPoints = 0;
                    if(lastClusteringResult == null) {
                         numMovingPoints = totalPointCount;
                    } else {
                         // compare 2 iterations' result for centroid computation
                         numMovingPoints = analyzeMovingPoints(lastClusteringResult.clusteringPoints, currentClusteringResult.clusteringPoints); // 分析两轮聚类结果：在簇之间移动的非质心点的集合
                        
                         // check iteration stop condition
                         boolean isIdentical = (currentClusteringResult.centroids.size() ==
                                   Multisets.intersection(HashMultiset.create(lastClusteringResult.centroids), HashMultiset.create(currentClusteringResult.centroids)).size()); // 检测终止最强约束条件：两轮迭代是否没有非质心点发生重新指派，即质心完全没变
                         if(iterations > 1 && isIdentical) {
                              stopped = true;
                         }
                    }
                    lastClusteringResult = currentClusteringResult;
                    centroids = currentClusteringResult.centroids;
                    currentClusterMovingPointRate = (float) numMovingPoints / totalPointCount; // 计算非质心点移动比例
                   
                    LOG.info("Clustering meta: k=" + k +
                              ", numMovingPoints=" + numMovingPoints +
                              ", totalPointCount=" + totalPointCount +
                              ", stopped=" + stopped +
                              ", currentClusterMovingPointRate=" + currentClusterMovingPointRate );
                   
                    // reset some structures
                    reset();
                    for(CentroidCalculator calculator : calculators) {
                         calculator.reset();
                    }
                   
                    LOG.info("Finish iterate: #" + iterations);
               }
          } finally {
               // notify all calculators to exit normally
               clusteringCompletedFinally = true;
              
               LOG.info("Shutdown executor service: " + executorService);
               executorService.shutdown();
              
               // process final clustering result
               LOG.info("Final clustering result: ");
               Iterator<Entry<Centroid, Multiset<Point2D>>> iter = currentClusteringResult.clusteringPoints.entrySet().iterator();
               while(iter.hasNext()) { // 达到终止条件后，处理最终的结果
                    Entry<Centroid, Multiset<Point2D>> entry = iter.next();
                    int id = entry.getKey().getId();
                    Set<ClusterPoint<Point2D>> set = Sets.newHashSet();
                    for(Point2D p : entry.getValue()) {
                         set.add(new ClusterPoint2D(p, id));
                    }
                    clusteredPoints.put(id, set);
                    id++;
               }
               centroidSet = currentClusteringResult.clusteringPoints.keySet();
          }
     }

下面，我们讨论一下，如何根据两次聚类迭代结果，计算在簇之间移动的点的个数。如果把两轮聚类迭代结果中的k个簇分别从整体上来比较，得出在前后两轮迭代结果中在簇之间移动的非质心点的个数，可能比较麻烦，也容易陷入混乱的计算逻辑中。
我们可以这么思考：假设a、b两轮迭代结束，a轮中生成k个簇的集合Ca={C(a1),C(a2), …,C(ak)}，b轮中生成k个簇的集合Cb={C(b1),C(b2), …,C(bk)}，我们假设生成的簇是有编号的，而且，a轮生成的簇C(ai)，在b轮重新计算质心后生成的新簇为C(bi)，这样一一对应起来，分别计算在簇C(ai)与簇C(bi)之间移动的点的个数，首先计算簇C(ai)与簇C(bi)的交集S：

S = C(ai) ∩ C(bi)

然后，分别计算簇C(ai)、簇C(bi)与S的差集Dai、Dbi：

Dai = Ca - S = Ca - (C(ai) ∩ C(bi) )
Dbi = Cb - S = Cb - (C(ai) ∩ C(bi) )

这样，差集Dai和Dbi中的点都是在两轮聚类中移动的非质心点，由于一个簇中的点可能移动到另一个簇中，如某非质心点p，从C(ai)移动到C(bj)，其中i不等于j，那么在计算差集Dai与Dbi时，发现C(ai)中少了点p，点p被放入差集Dai；在计算簇C(aj)与簇C(bj)时，发现C(bj)中多了一个点p，则点p又被放入差集Dbj。可见，点p被放入到两个差集Dai和Dbj中，所以我们需要对最终得到的k个差集先做并计算：

D = Σ(Dai ∪ dbi), i=1,2, ...k

然后再对集合D做一个去重操作，得到的点的集合就是两轮迭代过程中，在簇之间移动的点的集合。
我们基于上述计算思路实现的代码，对应上面代码中的analyzeMovingPoints方法，代码实现如下所示：

     private int analyzeMovingPoints(TreeMap<Centroid, Multiset<Point2D>> lastClusteringPoints,
               TreeMap<Centroid, Multiset<Point2D>> currentClusteringPoints) {
          // Map<current, Map<last, intersected point count>>
          Set<Point2D> movingPoints = Sets.newHashSet(); // 用来收集移动的点，使用Set集合类去重
          Iterator<Entry<Centroid, Multiset<Point2D>>> lastIter = lastClusteringPoints.entrySet().iterator();
          Iterator<Entry<Centroid, Multiset<Point2D>>> currentIter = currentClusteringPoints.entrySet().iterator();
          while(lastIter.hasNext() && currentIter.hasNext()) {
               Entry<Centroid, Multiset<Point2D>> last = lastIter.next();
               Entry<Centroid, Multiset<Point2D>> current = currentIter.next();
               Multiset<Point2D> intersection = Multisets.intersection(last.getValue(), current.getValue()); // 计算交集S = C(ai) ∩ C(bi)
               movingPoints.addAll(Multisets.difference(last.getValue(), intersection)); // 计算差集Dai = Ca - S = Ca - (C(ai) ∩ C(bi) )
               movingPoints.addAll(Multisets.difference(current.getValue(), intersection)); // 计算差集Dbi = Cb - S = Cb - (C(ai) ∩ C(bi) )
          }
          return movingPoints.size();
     }

通过上面的计算逻辑，就能够计算出两轮聚类过程中，在簇之间移动的点的集合和个数。

聚类效果

每次执行k-means聚类，得到的结果都不相同，我们可以执行两次，取k=10，看一下聚类结果的散点图，如下图所示：

图中，标号为9999的点为质心点，上面两图对比可以看出，聚类结果中簇的形状是不同的，其中红色值满足迭代停止条件的质心的坐标位置。
下面，我们选择不同的k值：5、10、20、50，分别执行k-means聚类，然后对比聚类结果，如下图所示：

总结

通过上面的实现，我们知道基本k-means聚类算法的实现过程比较简单，很容易实现。另外，该聚类算法适用于处理具有中心的球形簇，而且运行相当有效。但是，该聚类算法的结果受随机选择的质心的影响，每次计算都得到不同的结果，而且当待聚数据的具有不同的尺寸，或者密度非常不均匀，聚类结果非常的差。为了解决k-means聚类随机算法选择初始质心的问题，会有很多处理方法，可以查阅相关资料，其中bisecting k-means算法（二分k-均值）就是基于基本k-means得到的一种变体，能够比较好地处理，不受随机选择初始质心的影响，后续我们会实现并详细讨论。