从CSDN 时代开始，就有用一系列文章聊聊CoreAnimation的打算，这算是本系列中的第三篇了。一直以来都是哪天心情好的时候来一篇，真怀疑等把整个系列写完的时候CoreAnimation是不是都要被Apple换掉了。
本文打算介绍自己对基础变换的认识。
一、基础变换与数学
1.两种坐标系
不管是平面几何还是立体几何，笛卡尔坐标系都是我们学习和研究几何的最基础工具。的笛卡尔坐标系主要分两种：左手坐标系和右手坐标系。
对于三维坐标系，百度百科 上给出了右手坐标系的判断方法：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。同理左手直角三维坐标系。
下图直观的表示了上述判断方法（图片来自这里 ）：
由此判断，从中学到大学的课堂上我们接触的立体几何都是右手系。
2.基础变换的数学公式
一个点在立体空间内的变换可以通过数学公式表示，前面讲那么多左手和右手坐标系相关的内容是因为不同坐标系下计算公式不同。
iOS中CoreAnimation的CALayer默认使用的是左手坐标系（使用哪种坐标系可以通过CALayer的geometryFlipped属性更改，该值默认为NO，设为YES时表示使用右手坐标系），因此本文后面所说的所有坐标系都是之左手坐标系。
变换对于动画来说应该是最基础最核心的内容了，CoreAnimation中基础变换包括平移（Translate）、缩放（Scale）、旋转（Rotate）三种。假如三维空间中有一个点(x0, y0, z0)，该点经过一定条件的基础变换，变换后的坐标为(x, y, z)，则针对平移、缩放、旋转三种基础变换，对应的坐标变换关系如下：
2.1 平移
平移对应的变化量为(δx, δy, δz)。
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x = x0 + δx;
y = y0 + δy;
z = z0 + δz;
2.2 缩放
缩放对应的缩放倍数为(δx, δy, δz)。
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x = x0 * δx;
y = y0 * δy;
z = z0 * δz;
2.3 旋转
旋转的方式有很多，比如简单点的绕X轴、Y轴、Z轴旋转，复杂点的还有绕任意三维向量旋转。为了简单起见，旋转以绕Z轴旋转了角度α（注意这里及后文所有涉及角度的地方都是弧度制）为例，对应的变化关系为：
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x = y0*sinα + x0*cosα;
y = y0*conα - x0*sinα;
z = z0;
其它的大家感兴趣可以自己推倒下。
二、变换矩阵
在CoreAnimation中用CATransform3D来表示三维齐次坐标变换矩阵，在齐次坐标中n维空间的坐标需要用n+1个元素的坐标元组来表示（详情还请自行Google），因此CATransform3D定义如下：
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struct CATransform3D
{
CGFloat m11, m12, m13, m14;
CGFloat m21, m22, m23, m24;
CGFloat m31, m32, m33, m34;
CGFloat m41, m42, m43, m44;
};
为什么实现变换要有变换矩阵呢？
以上文中旋转的计算公式为例，可以使用如下矩阵运算表示：
其中的矩阵：
就被称为点(x0, y0, z0)绕Z轴旋转角度α的变换矩阵。
由于放射变换可以通过矩阵变换来实现，而且看起来更加直观，因此变换公式通常都用对应的变换矩阵表示。
在CoreAnimation中平移、缩放、旋转对应的变换矩阵为：
1. 平移
其中δx、δy、δz表示三个坐标上对应的平移量。
2. 缩放
其中δx、δy、δz表示三个坐标上对应的缩放倍数。
3. 旋转
该矩阵为任意点(x, y, z)绕任意向量旋转旋转角度α的旋转向量。
三、验证
前面总结了CoreAnimation中三种基础变换对应的变换矩阵，这样以来我们就能自己对任意的矩阵做变换了。平移、缩放、旋转对应的变换矩阵计算方法如下：
1. 平移
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- ( CATransform3D ) translateWithMatrix: ( CATransform3D ) t x: ( CGFloat ) x y: ( CGFloat ) y z: ( CGFloat ) z
{
CATransform3D matrixTransform = CATransform3DIdentity ;
matrixTransform . m41 = x ;
matrixTransform . m42 = y ;
matrixTransform . m43 = z ;
return CATransform3DConcat ( matrixTransform , t );
}
该方法根据平移变换矩阵的计算方式，得到平移参数(x, y, z)对应的变换矩阵，然后和原始矩阵相乘，得到最终的变换矩阵。
2. 缩放
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- ( CATransform3D ) scaleWithMatrix: ( CATransform3D ) t x: ( CGFloat ) x y: ( CGFloat ) y z: ( CGFloat ) z
{
CATransform3D matrixTransform = CATransform3DIdentity ;
matrixTransform . m11 = x ;
matrixTransform . m22 = y ;
matrixTransform . m33 = z ;
return CATransform3DConcat ( matrixTransform , t );
}
该方法根据缩放变换矩阵的计算方式，得到缩放参数(x, y, z)对应的变换矩阵，然后和原始矩阵相乘，得到最终的变换矩阵。
3. 旋转
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- ( CATransform3D ) rotateWithMatrix: ( CATransform3D ) t angle: ( CGFloat ) angle x: ( CGFloat ) x y: ( CGFloat ) y z: ( CGFloat ) z
{
CGFloat unitValue = sqrtf ( powf ( x , 2 ) + powf ( y , 2 ) + powf ( z , 2 ));
CGFloat x0 = x / unitValue ;
CGFloat y0 = y / unitValue ;
CGFloat z0 = z / unitValue ;
CATransform3D matrixTransform = CATransform3DIdentity ;
matrixTransform . m11 = powf ( x0 , 2 ) * ( 1 - cosf ( angle )) + cosf ( angle );
matrixTransform . m12 = x0 * y0 * ( 1 - cosf ( angle )) + z0 * sinf ( angle );
matrixTransform . m13 = x0 * z0 * ( 1 - cosf ( angle )) - y0 * sinf ( angle );
matrixTransform . m21 = x0 * y0 * ( 1 - cosf ( angle )) - z0 * sinf ( angle );
matrixTransform . m22 = powf ( y0 , 2 ) * ( 1 - cosf ( angle )) + cosf ( angle );
matrixTransform . m23 = y0 * z0 * ( 1 - cosf ( angle )) + x0 * sinf ( angle );
matrixTransform . m31 = x0 * z0 * ( 1 - cosf ( angle )) + y0 * sinf ( angle );
matrixTransform . m32 = y0 * z0 * ( 1 - cosf ( angle )) - x0 * sinf ( angle );
matrixTransform . m33 = powf ( z0 , 2 ) * ( 1 - cosf ( angle )) + cosf ( angle );
return CATransform3DConcat ( matrixTransform , t );
}
该方法根据旋转变换矩阵的计算方式，得到旋转参数(angle, x, y, z)对应的变换矩阵，然后和原始矩阵相乘，得到最终的变换矩阵。
4. demo
以旋转变换demo为例：
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- ( void ) logTransform: ( CATransform3D ) t
{
NSLog ( @"***************************" );
NSLog ( @"%f,%f,%f,%f" , t . m11 , t . m12 , t . m13 , t . m14 );
NSLog ( @"%f,%f,%f,%f" , t . m21 , t . m22 , t . m23 , t . m24 );
NSLog ( @"%f,%f,%f,%f" , t . m31 , t . m32 , t . m33 , t . m34 );
NSLog ( @"%f,%f,%f,%f" , t . m41 , t . m42 , t . m43 , t . m44 );
}
- ( IBAction ) onRotateButtonAction: ( id ) sender
{
//Rotate
//随意的原始矩阵
CATransform3D matrixOrigin = CATransform3DMakeRotation ( 1 , 4 , 3 , 6 );
CGFloat x = 2 , y = 3 , z = 4 ; //旋转向量（2,3,4）
CGFloat angle = 30.0f * M_PI / 180.0f ; //旋转角度30°，计算对应的弧度
//通过系统函数计算变换矩阵
CATransform3D matrixSystem = CATransform3DRotate ( matrixOrigin , angle , x , y , z );
systemLayer . transform = matrixSystem ;
[ self logTransform: matrixSystem ];
//自定义方法计算3D旋转矩阵
CATransform3D matrixCalculate = [ self rotateWithMatrix: matrixOrigin angle: angle x: x y: y z: z ];
customLayer . transform = matrixCalculate ;
[ self logTransform: matrixCalculate ];
}
demo使用随意生成的参数matrixOrigin模拟一个CALayer的初始transform属性值，然后使用同一组变换参数，分别通过系统函数和自定义方法对原始transform做变换，然后对比变换结果。最终的计算得到的变换矩阵可以通过log的方式打印出来，也可以在界面上做直观的展示。
平移和缩放变换矩阵的验证方式和旋转类似。
经过对比发现两种计算方式得到的最终变换矩阵是完全相同的，这进一步验证了CoreAnimation中变换矩阵的计算方式。
完整的demo 放到了github上，欢迎大家下载。
四、说明
可以同时对CALayer进行多种变换，比如同时缩放和旋转，直接通过矩阵相乘得到组合变换的变换矩阵。CoreAnimation提供了变换矩阵组合的方法：
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CATransform3D CATransform3DConcat ( CATransform3D a , CATransform3D b )
需要注意的是，通常情况下矩阵乘法不支持交换律，因此两个矩阵a、b的顺序不能交换。
CoreAnimation的3D变换对应的4维变换矩阵，单独修改其中的任何一个值都可能带来不可控的变换结果，因此不建议单独手动修改变换矩阵，而是通过基础变换或者基础变换组合的方式修改。
五、参考文档
