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神经网络反向传播的数学原理

我爱机器学习(52ml.net)发表于 2016-10-11 14:06:00

作者：神牛
链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/22473137
来源：知乎
著作权归作者所有，本文为作者授权转载。

如果能二秒内在脑袋里解出下面的问题，本文便结束了。

已知： $J=(Xw-y)^T(Xw-y)=||Xw-y||^2$ ，其中 $X\in R^{m \times n}, w \in R^{n \times 1}, y \in R^{m \times 1}$ 。

求： $\frac{\partial J}{\partial X}$ ， $\frac{\partial J}{\partial w}$ ， $\frac{\partial J}{\partial y}$ 。

到这里，请耐心看完下面的公式推导，无需长久心里建设。

首先，反向传播的数学原理是“求导的链式法则” :

设 $f$ 和 $g$ 为 $x$ 的可导函数，则 $(f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x)$ 。

接下来介绍

矩阵、向量求导的维数相容原则
利用维数相容原则快速推导反向传播
编程实现前向传播、反向传播
卷积神经网络的反向传播

快速矩阵、向量求导

这一节展示如何使用链式法则、转置、组合等技巧来快速完成对矩阵、向量的求导

一个原则维数相容，实质是多元微分基本知识，没有在课本中找到下列内容，维数相容原则是我个人总结：

维数相容原则：通过前后换序、转置 使求导结果满足矩阵乘法且结果维数满足下式：

如果 $x\in R^{m\times n}$ ， $f(x)\in R^1$ ，那么 $\frac{\partial f(x)}{\partial x} \in R^{m\times n}$ 。

利用维数相容原则解上例：

step1：把所有参数当做实数来求导， $J=(Xw-y)^2$ ，

依据链式法则有 $\frac{\partial J}{\partial X}=2(Xw-y)w$ ， $\frac{\partial J}{\partial w}=2(Xw-y)X$ ， $\frac{\partial J}{\partial y}=-2(Xw-y)$

可以看出除了 $\frac{\partial J}{\partial y}=-2(Xw-y)$ ， $\frac{\partial J}{\partial X}$ 和 $\frac{\partial J}{\partial w}$ 的求导结果在维数上连矩阵乘法都不能满足。

step2：根据step1的求导结果，依据维数相容原则做调整：前后换序、转置

依据维数相容原则 $\frac{\partial J}{\partial X} \in R^{m \times n}$ ，但 $\frac{\partial J}{\partial X} \in R^{m \times n} = 2(Xw-y)w$ 中 $(Xw-y)\in R^{m \times 1}$ 、 $w \in R^{n \times 1}$ ，自然得调整为 $\frac{\partial J}{\partial X}=2(Xw-y)w^T$ ；

同理： $\frac{\partial J}{\partial w} \in R^{n \times 1}$ ，但 $\frac{\partial J}{\partial w} \in R^{n \times 1} = 2(Xw-y)X$ 中 $(Xw-y) \in R^{m \times 1}$ 、 $X \in R^{m \times n}$ ，那么通过换序、转置我们可以得到维数相容的结果 $2X^T(Xw-y)$ 。

对于矩阵、向量求导：

“当做一维实数使用链式法则求导，然后做维数相容调整，使之符合矩阵乘法原则且维数相容”是快速准确的策略；
“对单个元素求导、再整理成矩阵形式”这种方式整理是困难的、过程是缓慢的，结果是易出错的（不信你试试）。

如何证明经过维数相容原则调整后的结果是正确的呢？直觉！简单就是美…

快速反向传播

神经网络的反向传播求得“各层”参数 $W$ 和 $b$ 的导数，使用梯度下降（一阶GD、SGD，二阶LBFGS、共轭梯度等）优化目标函数。

接下来，展示不使用下标的记法（ $W_{ij}$ , $b_i$ or $b_j$ ）直接对 $W$ 和 $b$ 求导，反向传播是链式法则和维数相容原则的完美体现，对每一层参数的求导利用上一层的中间结果完成。

这里的标号，参考UFLDL教程 – Ufldl

前向传播：

$z^{(l+1)}=W^{(l)}a^{(l)}+b^{(l)}$ （公式1） $a^{(l+1)} =f(z^{(l+1)})$ （公式2）

$z^{(l)}$ 为第 $l$ 层的中间结果， $a^{(l)}$ 为第 $l$ 层的激活值，其中第 $l+1$ 层包含元素：输入 $a^{(l)}$ ，参数 $W^{(l)}$ 、 $b^{(l)}$ ，激活函数 $f()$ ，中间结果 $z^{(l+1)}$ ，输出 $a^{(l+1)}$ 。

设神经网络的损失函数为 $J(W,b) \in R^1$ （这里不给出具体公式，可以是交叉熵、MSE等），根据链式法则有：

$\bigtriangledown_{W^{(l)}}J(W,b)=\frac{\partial J(W,b)}{\partial z^{(l+1)}} \frac{\partial z^{(l+1)}}{\partial W^{(l)}}=\delta ^{(l+1)}(a ^{(l)})^T$ $\bigtriangledown_{b^{(l)}}J(W,b)=\frac{\partial J(W,b)}{\partial z^{(l+1)}} \frac{\partial z^{(l+1)}}{\partial b^{(l)}}=\delta ^{(l+1)}$
这里记 $\frac{\partial J(W,b)}{\partial z^{(l+1)}}=\delta ^{(l+1)}$ ，其中 $\frac{\partial z^{(l+1)}}{\partial W^{(l)}}=a ^{(l)}$ 、 $\frac{\partial z^{(l+1)}}{\partial b^{(l)}}= 1$ 可由 公式1 得出， $a ^{(l)}$ 加转置符号 $(a ^{(l)})^{T}$ 是根据维数相容原则作出的调整。

如何求 $\delta ^{(l)}=\frac{\partial J(W,b)}{\partial z^{(l)}}$ ？可使用如下递推（需根据维数相容原则作出调整）：

$\delta ^{(l)}=\frac{\partial J}{\partial z^{(l)}}=\frac{\partial J}{\partial z^{(l+1)}} \frac{\partial z^{(l+1)}}{\partial a^{(l)}} \frac{\partial a^{(l)}}{\partial z^{(l)}}= ((W^{(l)})^{T}\delta ^{(l+1)}) \cdot f'(z^{(l)})$

其中 $\frac{\partial J}{\partial z^{(l+1)}} \frac{\partial z^{(l+1)}}{\partial a^{(l)}} = (W^{(l)})^T \delta ^{(l+1)}$ 、 $\frac{\partial a^{(l)}}{\partial z^{(l)}} = f'(z^{(l)})$ 。

那么我们可以从最顶层逐层往下，便可以递推求得每一层的 $\delta ^{(l)} = \frac{\partial J(W,b)}{\partial z^{(l)}}$

注意： $\frac{\partial a^{(l)}}{\partial z^{(l)}} = f'(z^{(l)})$ 是逐维求导，在公式中是点乘的形式。

反向传播整个流程如下：

1) 进行前向传播计算，利用前向传播公式，得到隐藏层和输出层的激活值。

2) 对输出层(第 $l$ 层)，计算残差：

$\delta ^{(l)} =\frac{\partial J(W,b)}{\partial z^{(l)}}$ （不同损失函数，结果不同，这里不给出具体形式）

3) 对于 $l-1, l-2 , ... , 2$ 的隐藏层，计算：

$\delta ^{(l)}=\frac{\partial J}{\partial z^{(l)}}=\frac{\partial J}{\partial z^{(l+1)}} \frac{\partial z^{(l+1)}}{\partial a^{(l)}}\frac{\partial a^{(l)}}{\partial z^{(l)}}= ((W^{(l)})^{T}\delta ^{(l+1)}) \cdot f'(z^{(l)})$
4) 计算各层参数 $W^{(l)}$ 、 $b^{(l)}$ 偏导数：

编程实现

大部分开源library（如：caffe，Kaldi/src/{nnet1,nnet2}）的实现通常把 $W^{(l)}$ 、 $b^{(l)}$ 作为一个layer，激活函数 $f()$ 作为一个layer（如：sigmoid、relu、softplus、softmax）。

反向传播时分清楚该层的输入、输出即能正确编程实现,如：

$z^{(l+1)}=W^{(l)}a^{(l)}+b^{(l)}$ (公式1)

$a^{(l+1)} =f(z^{(l+1)})$ (公式2)
(1)式AffineTransform/FullConnected层，以下是伪代码：

b9a129d9a7f1c417fc3021582393df8f_b
注: out_diff = $\frac{\partial J}{\partial z^{(l+1)}}$ 是上一层（Softmax 或 Sigmoid/ReLU的 in_diff）已经求得：

$in\_diff = \frac{\partial J}{\partial a^{(l)}} = \frac{\partial J}{\partial z^{(l+1)}} \frac{\partial z^{(l+1)}}{\partial a^{(l)}} = W^T * out\_diff$ （公式 1-1）

$W\_diff =\frac{\partial J}{\partial z^{(l+1)}} \frac{\partial z^{(l+1)}}{\partial W^{(l)}} = out\_diff * in^T$ （公式 1-2）

$b\_diff =\frac{\partial J}{\partial z^{(l+1)}} \frac{\partial z^{(l+1)}}{\partial b^{(l)}} = out\_diff * 1$ （公式 1-3）
(2)式激活函数层（以Sigmoid为例）

a47464decae0151de242c6490a61c10d_b

注：out_diff = $\frac{\partial J}{\partial a^{(l+1)}}$ 是上一层AffineTransform的in_diff，已经求得,

$in\_diff = \frac{\partial J}{\partial z^{(l+1)}} = \frac{\partial J}{\partial a^{(l+1)}} \frac{\partial a^{(l+1)}}{\partial z^{(l+1)}} = out\_diff \cdot out \cdot (1-out)$
在实际编程实现时，in、out可能是矩阵(通常以一行存储一个输入向量，矩阵的行数就是batch_size)，那么上面的C++代码就要做出变化（改变前后顺序、转置，把函数参数的Vector换成Matrix，此时Matrix out_diff 每一行就要存储对应一个Vector的diff，在update的时候要做这个batch的加和，这个加和可以通过矩阵相乘out_diff*input（适当的转置）得到。

如果熟悉SVD分解的过程，通过SVD逆过程就可以轻松理解这种通过乘积来做加和的技巧。

丢掉那些下标记法吧！

卷积层求导

卷积怎么求导呢？实际上卷积可以通过矩阵乘法来实现（是否旋转无所谓的，对称处理，caffe里面是不是有image2col），当然也可以使用FFT在频率域做加法。

那么既然通过矩阵乘法，维数相容原则仍然可以运用，CNN求导比DNN复杂一些，要做些累加的操作。具体怎么做还要看编程时选择怎样的策略、数据结构。
快速矩阵、向量求导之维数相容大法已成。