[原]向量空间是用什么来表示
caimouse发表于 2017-01-16 15:02:38
设Rn为所有n维向量的全体（或n维向量的全体），并在其上定义了向量的加法运算和数乘运算，则称Rn为n维向量空间。其Rn 的每个向量是一个实数的有序排列作成的n元组。
| 1 | | 4 | | 5 |
| 2 | + | 5 | = | 7 |
| 3 | | 6 | | 9|
上面表示了R3的两个向量加法。在计算机图形学里，主要关注R2,R3,R4， 也就是2D，3D，4D的空间向量。
设a=（x1,y1），b=（x2,y2）。
加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。OB+OA=OC。
a+b=( 
， 
)。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”
a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2).
如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。
加减变换律：a+(-b)=a-b
数乘
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍
当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
实数p和向量a的点乘乘积是一个数。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
需要注意的是：向量的加减乘（向量没有除法）运算满足实数加减乘运算法则。
数量积
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算律