IT博客汇 | [原]黑塞矩阵（Hessian Matrix）

[原]黑塞矩阵（Hessian Matrix）

caimouse发表于 2017-03-05 12:07:45

在机器学习课程里提到了这个矩阵，那么这个矩阵是从哪里来，又是用来作什么用呢?先来看一下定义：

黑塞矩阵（Hessian Matrix），又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出，并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题。

一般来说, 牛顿法主要应用在两个方面, 1, 求方程的根; 2, 最优化.

在机器学习里，可以考虑采用它来计算n值比较少的数据，在图像处理里，可以抽取图像特征，在金融里可以用来作量化分析。

图像处理可以看这个连接：

http://blog.csdn.net/jia20003/article/details/16874237

量化分析可以看这个：

http://ookiddy.iteye.com/blog/2204127

下面使用TensorFlow并且使用黑塞矩阵来求解下面的方程：

代码如下：

#python 3.5.3  蔡军生    
#http://edu.csdn.net/course/detail/2592    
#  
import tensorflow as tf
import numpy as np

def cons(x):
    return tf.constant(x, dtype=tf.float32)
def compute_hessian(fn, vars):
    mat = []
    for v1 in vars:
        temp = []
        for v2 in vars:
            # computing derivative twice, first w.r.t v2 and then w.r.t v1
            temp.append(tf.gradients(tf.gradients(f, v2)[0], v1)[0])
        temp = [cons(0) if t == None else t for t in temp] # tensorflow returns None when there is no gradient, so we replace None with 0
        temp = tf.stack(temp)
        mat.append(temp)
    mat = tf.stack(mat)
    return mat


x = tf.Variable(np.random.random_sample(), dtype=tf.float32)
y = tf.Variable(np.random.random_sample(), dtype=tf.float32)


f = tf.pow(x, cons(2)) + cons(2) * x * y + cons(3) * tf.pow(y, cons(2)) + cons(4)* x + cons(5) * y + cons(6)
# arg1: our defined function, arg2: list of tf variables associated with the function
hessian = compute_hessian(f, [x, y])

sess = tf.Session()
sess.run(tf.global_variables_initializer())
print(sess.run(hessian))

输出结果如下：

再来举多一个例子的源码，它就是用来计算量化分析，这个代码很值钱啊，如下：

#python 3.5.3  蔡军生    
#http://edu.csdn.net/course/detail/2592    
# 
import numpy as np
import scipy.stats as stats
import scipy.optimize as opt

#构造Hessian矩阵
def rosen_hess(x):
    x = np.asarray(x)
    H = np.diag(-400*x[:-1],1) - np.diag(400*x[:-1],-1)
    diagonal = np.zeros_like(x)
    diagonal[0] = 1200*x[0]**2-400*x[1]+2
    diagonal[-1] = 200
    diagonal[1:-1] = 202 + 1200*x[1:-1]**2 - 400*x[2:]
    H = H + np.diag(diagonal)
    return H
def rosen(x):
    """The Rosenbrock function"""
    return sum(100.0*(x[1:]-x[:-1]**2.0)**2.0 + (1-x[:-1])**2.0)
def rosen_der(x):
    xm = x[1:-1]
    xm_m1 = x[:-2]
    xm_p1 = x[2:]
    der = np.zeros_like(x)
    der[1:-1] = 200*(xm-xm_m1**2) - 400*(xm_p1 - xm**2)*xm - 2*(1-xm)
    der[0] = -400*x[0]*(x[1]-x[0]**2) - 2*(1-x[0])
    der[-1] = 200*(x[-1]-x[-2]**2)
    return der

x_0 = np.array([0.5, 1.6, 1.1, 0.8, 1.2])

res = opt.minimize(rosen, x_0, method='Newton-CG', jac=rosen_der, hess=rosen_hess,
                   options={'xtol': 1e-8, 'disp': True})
print("Result of minimizing Rosenbrock function via Newton-Conjugate-Gradient algorithm (Hessian):")
print(res)

输出结果如下：

====================== RESTART: D:/AI/sample/tf_1.43.py ======================
Optimization terminated successfully.
Current function value: 0.000000
Iterations: 20
Function evaluations: 22
Gradient evaluations: 41
Hessian evaluations: 20
Result of minimizing Rosenbrock function via Newton-Conjugate-Gradient algorithm (Hessian):
fun: 1.47606641102778e-19
jac: array([ -3.62847530e-11, 2.68148992e-09, 1.16637362e-08,
4.81693414e-08, -2.76999090e-08])
message: 'Optimization terminated successfully.'
nfev: 22
nhev: 20
nit: 20
njev: 41
status: 0
success: True
x: array([ 1., 1., 1., 1., 1.])
>>>