前言

对于如何确定本篇文章的内容涵盖范围这个问题，我想了很久，最终打算从最基本的什么是形状（shape）这个问题谈起。

形状的本质

在拓扑相关的理论中，形状是指\(n-1\)维流形（manifold）在\(n\)维流形中的嵌套。

流形是连续的，详细的定义也较为复杂，可以从以下两点来辅助理解流形的概念：

1. \(n\) 维流形的局部与 \(\mathbb R^n\)等价，例如：曲面（二维流形）的局部是二维平面。
2. 对流形进行网格剖分，得到的离散流形除去边缘边之外，其他边有且仅有两个面与之相邻。

所以我们可以认为，在 \(\mathbb R^n\)或更高维欧式空间中观测不同 \(n-1\)维流形的嵌套，就是在观测不同的形状。

更严谨的，对于一个向量函数，可以表达为 \(f:\mathbb {R}^n \mapsto \mathbb {R}^m\).

我们令 \(\vec x = \left( x_1,\, \dots,\,x_n \right)^T \in \mathbb R^n\)， \(\vec y = \left(y_1,\, \dots,\, y_m \right)^T \in\mathbb R^m\)，故：

\[\vec y = f(\vec x) \implies\begin{cases}y_1 = f_1(x_1, \, \dots,\, x_n) \\[2ex]y_i = f_i(x_1, \, \dots,\, x_n) \\[2ex]y_m = f_m(x_1, \, \dots,\, x_n)\end{cases}\]

假设 \(f\)是可微的，在自变量任意一点的邻域中，我们有（一阶泰勒展开）：

\[\begin{cases}\Delta y_1 = \frac{\partial f_1}{\partial x_1} \Delta x_1 + \dots +\frac{\partial f_1}{\partial x_j} \Delta x_j + \dots + \frac{\partialf_1}{\partial x_n} \Delta x_n \\[2ex]\Delta y_i = \frac{\partial f_i}{\partial x_1} \Delta x_1 + \dots +\frac{\partial f_i}{\partial x_j} \Delta x_j + \dots + \frac{\partialf_i}{\partial x_n} \Delta x_n \\[2ex]\Delta y_1 = \frac{\partial f_m}{\partial x_1} \Delta x_1 + \dots +\frac{\partial f_m}{\partial x_j} \Delta x_j + \dots + \frac{\partialf_m}{\partial x_n} \Delta x_n\end{cases}\]

写成矩阵形式

\[\begin{pmatrix}\Delta y_1 \\[2ex]\dots \\[2ex]\Delta y_i \\[2ex]\dots \\[2ex]\Delta y_m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partialf_1}{\partial x_j} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\[2ex]\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\[2ex]\frac{\partial f_i}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partialf_i}{\partial x_j} & \dots & \frac{\partial f_i}{\partial x_n}\\[2ex]\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\[2ex]\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partialf_m}{\partial x_j} & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\Delta x_1 \\[2ex]\dots \\[2ex]\Delta x_j \\[2ex]\dots \\[2ex] \Delta x_n \\[2ex]\end{pmatrix}\]

中间的系数矩阵就是\(m \timesn\)的雅克比（Jacobian）矩阵，简化写作： \[\Delta \vec y = \mathbf J_{m\times n} \,\Delta \vec x\]

观察映射\(f\)的雅可比矩阵：

• 矩阵中第 \(i\) 行 表述为第 \(i\) 个映射 \(f_i: \mathbb R^n \mapsto \mathbb R\)的梯度（gradient） \[\nabla f_i = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_1},\, \dots, \,\frac{\partial f_i}{\partial x_j},\, \dots,\, \frac{\partialf_i}{\partial x_n} \right)\]

• 矩阵中第 \(j\) 列 表述为映射沿\(x_j\) 方向的切向量（tangentvector） \[\frac{d\,(\vec y)}{d\, x_j} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial x_j},\,\dots,\, \frac{\partial f_i}{\partial x_j},\, \dots,\, \frac{\partialf_m}{\partial x_j} \right)^T\]

  也可以理解为一个一维流形： \(\mathbb R \mapsto \mathbb R^m\)

对不同 \(n\) 和 \(m\)，\(\Delta\vec y = \mathbf J_{m \times n} \, \Delta \vec x\)可以表述不同含义，总体上：

• 若 \(m > n\)，因变量维度比自变量维度大，那么以上公式表述了低维流形在高维空间中的嵌套，即形状。
• 若 \(m < n\)，因变量维度比自变量维度小，那么以上公式表述的是高维流形向低维空间的投影。
• 若 \(m = n\)，则是表述的线性变换，例如旋转、缩放。

特别的：

二维流形

对形状有更深的理解之后，我们再来讨论二维流形。

为什么是二维流形？

因为人类只能在三维空间中去观察，故能直接观察到的最复杂的形状就是二维流形在三维空间中的嵌套，故着重研究二维流形是有意义的。