购房贷款中等额本金与等额本息的计算方式
在我们买房子的时候，如果手上的现金不够，可以选择通过向银行借钱的方式来得到缺少部分的购房现金。一般来说，我们以房子本身作为抵押来向银行借钱，借到钱之后我们就可以用手上的钱向开发商购买房屋，之后只需要按月向银行还钱即可。如果我们单方面对银行进行债务违约，则银行有权利收回借贷抵押物即该套房屋。
当然天下没有免费的午餐，在我们向银行借钱的时候，是需要向银行支付利息的。以中国人民银行2020年12月21日的5年期以上全国银行间同业拆借中心LPR公布价为例，该值为4.65%，其决定了2021年一整年的房贷利率。当然，商业银行在真正进行贷款发放时可能会对利率进行一定的上浮或打折。
基准利率与LPR
LRP是央行在最近几年刚刚推出的一个新的利率计算方式，在以前，购房的利率主要参考的是央行基准利率，基准利率的当前值为4.9%。如果你之前的利率是锚定在基准利率上的，根据中国人民银行公告〔2019〕第30号中规定的商业性个人住房贷款的加点数值应等于原合同最近的执行利率水平与2019年12月发布的相应期限LPR的差值，那么将购房贷款利率的锚从基准利率改为LPR的计算方式如下（已知2019年12月发布的LPR的值为4.8%）
实际购房的房贷利率 - 4.8% + 当前LPR利率例如你在2015年买房，但是当前的利率是有折扣，我们假设是9折，则贷款的真实利率为 4.9% x 0.9 = 4.41%，即最终的贷款利率是4.41%。那么你的利率转化为LPR之后的值则为 4.41% - 4.8% + 4.65% = 4.26%。
央行之所以在基准利率之外又推出了一个LPR，本质上是因为基准利率是由央行直接制定的，而LPR则还会参考一些商业银行的意见。商业银行直接面对了贷款人，对市场行情的了解显然比央行更加及时，所以LPR相比于基准利率也更加能代表市场的真实利率。就好像汽车厂商一般都会给4S店一定的汽车售价变更权利，最终的汽车成交价会在厂商的销售指导价周围产生一定的上升或下降。因为4S店比汽车厂商更加了解市场的真实需求，如果车子好卖就会提升价格获得更多的收益，如果车子不好卖那么也会在一定程度上降低车的售价。LPR就好像是除了给4S店修改售价的权利之外，厂商还会每个月抽取一些4S店来参与产商的报价，最终决定当月的汽车厂商指导价。LPR是每月进行一次报价，而房贷利率是每年一变并且只决定于前一年12月份的LPR报价。LPR的变化不仅影响新增的贷款，也影响已经存在的贷款。
LPR的推出表明我国在近一步的深入市场化改革，摒弃计划经济的一些遗留问题。至于LPR以后会上升还是会下降的问题，这个我认为目前还没有人能够预测。前面扯了一堆LPR的相关问题，只是为了告诉读者LPR是如何出现、如何决定的，在有了贷款利率之后，下面我我们就来了解一下银行是如何根据利率和贷款本金计算贷款人的月供的。这就涉及到两种月供计算方式：等额本金和等额本息。我们以100万贷款为例，假设借贷人借款20年且利率为当前的LPR值即4.65%。
等额本金
等额本金的计算方式十分简单，就是每个月还的本金是等额的。以100万为例，借贷20年就是240个月，那么每个月需要还的本金就是 1000000 ÷ 240 = 4166.6666666667，即每个月需要还本金4166.67块钱。
计算完本金我们再计算利息，因为我们每个月还一次本金，那么每个月的利息其实都是不一样的。每个月需要还的利息计算公式如下
借贷本金 x 年利率 ÷ 12对于第一个月，需要还的利息为 1000000 x 4.65% ÷ 12 = 3875，那么第一个月要还的本金和利息加起来就是 4166.67 + 3875 = 8041.67。
对月第二个月，因为我们已经还了一个月的本金了，所以需要还的利息为 (1000000 - 4166.67) x 4.65% ÷ 12 = 3858.85，那么第二月的月供就为 4166.67 + 3858.85 = 8025.52。
通过以上的规律我们就能算出每一个的月供了，我们也可以观察到，等额本金这种方式一开始每个月的月供是比较高的，但是随着本金的降低，利息也会逐月降低，那么月供也是同样会逐月降低的。
具体每个月的月供我们可以通过如下的代码计算得到
1 | for i in range(240): |
以上代码得到结果如下
1月 8041.67(元) 2月 8025.52(元) 3月 8009.38(元) 4月 7993.23(元) 5月 7977.09(元) 6月 7960.94(元) 7月 7944.79(元) 8月 7928.65(元) 9月 7912.50(元) 10月 7896.36(元) 11月 7880.21(元) 12月 7864.07(元) 13月 7847.92(元) 14月 7831.77(元) 15月 7815.63(元) 16月 7799.48(元) 17月 7783.34(元) 18月 7767.19(元) 19月 7751.04(元) 20月 7734.90(元) 21月 7718.75(元) 22月 7702.61(元) 23月 7686.46(元) 24月 7670.32(元) 25月 7654.17(元) 26月 7638.02(元) 27月 7621.88(元) 28月 7605.73(元) 29月 7589.59(元) 30月 7573.44(元) 31月 7557.29(元) 32月 7541.15(元) 33月 7525.00(元) 34月 7508.86(元) 35月 7492.71(元) 36月 7476.57(元) 37月 7460.42(元) 38月 7444.27(元) 39月 7428.13(元) 40月 7411.98(元) 41月 7395.84(元) 42月 7379.69(元) 43月 7363.54(元) 44月 7347.40(元) 45月 7331.25(元) 46月 7315.11(元) 47月 7298.96(元) 48月 7282.82(元) 49月 7266.67(元) 50月 7250.52(元) 51月 7234.38(元) 52月 7218.23(元) 53月 7202.09(元) 54月 7185.94(元) 55月 7169.79(元) 56月 7153.65(元) 57月 7137.50(元) 58月 7121.36(元) 59月 7105.21(元) 60月 7089.07(元) 61月 7072.92(元) 62月 7056.77(元) 63月 7040.63(元) 64月 7024.48(元) 65月 7008.34(元) 66月 6992.19(元) 67月 6976.04(元) 68月 6959.90(元) 69月 6943.75(元) 70月 6927.61(元) 71月 6911.46(元) 72月 6895.31(元) 73月 6879.17(元) 74月 6863.02(元) 75月 6846.88(元) 76月 6830.73(元) 77月 6814.59(元) 78月 6798.44(元) 79月 6782.29(元) 80月 6766.15(元) 81月 6750.00(元) 82月 6733.86(元) 83月 6717.71(元) 84月 6701.56(元) 85月 6685.42(元) 86月 6669.27(元) 87月 6653.13(元) 88月 6636.98(元) 89月 6620.84(元) 90月 6604.69(元) 91月 6588.54(元) 92月 6572.40(元) 93月 6556.25(元) 94月 6540.11(元) 95月 6523.96(元) 96月 6507.81(元) 97月 6491.67(元) 98月 6475.52(元) 99月 6459.38(元)100月 6443.23(元)101月 6427.09(元)102月 6410.94(元)103月 6394.79(元)104月 6378.65(元)105月 6362.50(元)106月 6346.36(元)107月 6330.21(元)108月 6314.06(元)109月 6297.92(元)110月 6281.77(元)111月 6265.63(元)112月 6249.48(元)113月 6233.34(元)114月 6217.19(元)115月 6201.04(元)116月 6184.90(元)117月 6168.75(元)118月 6152.61(元)119月 6136.46(元)120月 6120.31(元)121月 6104.17(元)122月 6088.02(元)123月 6071.88(元)124月 6055.73(元)125月 6039.59(元)126月 6023.44(元)127月 6007.29(元)128月 5991.15(元)129月 5975.00(元)130月 5958.86(元)131月 5942.71(元)132月 5926.56(元)133月 5910.42(元)134月 5894.27(元)135月 5878.13(元)136月 5861.98(元)137月 5845.83(元)138月 5829.69(元)139月 5813.54(元)140月 5797.40(元)141月 5781.25(元)142月 5765.11(元)143月 5748.96(元)144月 5732.81(元)145月 5716.67(元)146月 5700.52(元)147月 5684.38(元)148月 5668.23(元)149月 5652.08(元)150月 5635.94(元)151月 5619.79(元)152月 5603.65(元)153月 5587.50(元)154月 5571.36(元)155月 5555.21(元)156月 5539.06(元)157月 5522.92(元)158月 5506.77(元)159月 5490.63(元)160月 5474.48(元)161月 5458.33(元)162月 5442.19(元)163月 5426.04(元)164月 5409.90(元)165月 5393.75(元)166月 5377.61(元)167月 5361.46(元)168月 5345.31(元)169月 5329.17(元)170月 5313.02(元)171月 5296.88(元)172月 5280.73(元)173月 5264.58(元)174月 5248.44(元)175月 5232.29(元)176月 5216.15(元)177月 5200.00(元)178月 5183.86(元)179月 5167.71(元)180月 5151.56(元)181月 5135.42(元)182月 5119.27(元)183月 5103.13(元)184月 5086.98(元)185月 5070.83(元)186月 5054.69(元)187月 5038.54(元)188月 5022.40(元)189月 5006.25(元)190月 4990.11(元)191月 4973.96(元)192月 4957.81(元)193月 4941.67(元)194月 4925.52(元)195月 4909.38(元)196月 4893.23(元)197月 4877.08(元)198月 4860.94(元)199月 4844.79(元)200月 4828.65(元)201月 4812.50(元)202月 4796.35(元)203月 4780.21(元)204月 4764.06(元)205月 4747.92(元)206月 4731.77(元)207月 4715.63(元)208月 4699.48(元)209月 4683.33(元)210月 4667.19(元)211月 4651.04(元)212月 4634.90(元)213月 4618.75(元)214月 4602.60(元)215月 4586.46(元)216月 4570.31(元)217月 4554.17(元)218月 4538.02(元)219月 4521.88(元)220月 4505.73(元)221月 4489.58(元)222月 4473.44(元)223月 4457.29(元)224月 4441.15(元)225月 4425.00(元)226月 4408.85(元)227月 4392.71(元)228月 4376.56(元)229月 4360.42(元)230月 4344.27(元)231月 4328.13(元)232月 4311.98(元)233月 4295.83(元)234月 4279.69(元)235月 4263.54(元)236月 4247.40(元)237月 4231.25(元)238月 4215.10(元)239月 4198.96(元)240月 4182.81(元)我们也可以计算总利息
1 | interest_total = 0 |
得到总利息：466937.13
等额本息
等额本息的计算方式要稍微复杂一些，等额本息就是每个月还的本金+利息的和是等额的，也就是每个月的月供是不变的。
我们先假设我们每个月的月供是A，其中 A = 本金 + 利息。我们假设我们每个月还完月供之后还欠银行的本金an，则有a1a2a3…a240。其中a0=1000000，a240=0。
并且我们知道，下一个月所欠的本金 = 这个月所欠的本金 + 这个月本金产生的利息 - 这个月的月供，即如下公式
an = an-1 + an-1 x (0.0465 ÷ 12) - A
因此我们可以知道如下等式，其中N的值为 (0.0465 ÷ 12) + 1 = 1.003875，即利率
a1 = N x a0 - A
a2 = N x a1 - A = N x (N x a0 - A) - A = N2 x a0 - (N + 1) x A
a3 = N x a2 - A = N x (N2 x a0 - (N + 1) x A) - A = N3 x a0 - (N2 + N + 1) x A
根据以上的的规律，我们可以总结得到一个表达式
am = Nm x a0 - (Nm-1 + Nm-2 + … + N + 1) x A
通过观察可以发现，Nm-1 + Nm-2 + … + N + 1 是一个等比数列，回忆一下我们高中就已经学过的等比数列的求和公式如下：
其中a为首项，n为项数，r为公比且r不等于1（求和公式取自维基百科）。那么我们把上面的式子带入求和公式就可以得到
am = Nm x a0 - ( ( 1 - Nm ) ÷ ( 1 - N ) ) x A
令m=240且将a0=1000000、a240=0、N=1.003875带入等式可以得到
0 = 1.003875240 x 1000000 - ( ( 1 - 1.003875240 ) ÷ ( 1 - 1.003875 ) ) x A
求解如上公式可以得到A的值为：6407.75，即等额本息每个月需要还6407.75元。
总结
在等额本金中，我们最终还的总金额是1000000 + 466937.13 = 1466937.13；而等额本息最终的还款金额是6407.75 x 240 = 1537860.0。可见等额本息的方式总还款会稍微多一些，这也很容易理解，因为等额本息一开始还的本金更少，那么最终产生的利息也就会更多一些。