并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。

算法思想

用集合中的某个元素来代表这个集合，，该元素称之为集合的代表元

每个集合可以理解为一个树，对于集合中的每个元素(如x)，都有一个值(如parent[x])指向其在结构上的父节点。如果x为集合的代表元，即根节点，则令parent[x]=x;

对于查找操作，假设需要确定x所在的的集合，也就是确定集合的代表元。可以沿着parent[x]不断在树形结构中向上移动，直到到达根节点。

判断两个元素是否属于同一集合，只需要看他们的代表元是否相同即可。

并查集的三个操作

• 初始化
• 查找
• 合并集合

初始化

包括对所有单个的数据建立一个单独的集合（即根据题目的意思自己建立的最多可能有的集合，为下面的合并查找操作提供操作对象）

结构体表示法

#define MAX 10000
struct Node
{
    int parent; // 集合index的类别
    int data;   // 集合index的数据类型
    int rank;   // 集合index的层次，通常初始化为0
 }node[MAX];

// 初始化i集合的函数
 void init(int i){
     node[i].parent=i;  // 初始化的时候，一个集合的parent都是这个集合自己的标号。
                        // 没有跟它同类的集合，那么这个集合的源头只能是自己了。
     node[i].rank=0;
 }

数组表示法

int parent[max];
int rank[max];
int data[max];

void init(int i)
{
    set[i]=i;
    rank[i]=0;
}

查找

结构体

/**
*查找集合i（一个元素是一个集合）的源头（递归实现）。
 如果集合i的父亲是自己，说明自己就是源头，返回自己的标号；
 否则查找集合i的父亲的源头。
**/
int get_Parent(int x)
{
    if(node[x].parent==x)
    {
        return x;
    }
    // 在进行查找时，顺便压缩路径
    node[x].parent = get_Parent(node[x].parent);
    return node[x].parent;
}

数组

// 查找集合i（一个元素是一个集合）的源头（递归实现）
int find_set(int i)
{ 
    // 如果集合i的父亲是自己，说明自己就是源头，返回自己的标号
   if(set[i]==i)
   {
       return set[i];
   }
    // 否则查找集合i的父亲的源头
    return  find_set(set[i]);        
}

// 查找的同时进行集合的优化的函数(减少树的高度)
int unifind(int a){
    
    int root = a;
    
    // 找到根节点
    while(root != parent[root] ){
        root = parent[root];
    }
    
    // compress the path
    while( a != root){
        int parentOfA = parent[a];
        parent[a] = root; // 将当前节点的父节点直接设置为父节点
        a = parentOfA;
    }
    return root;
}

合并集合

Talk is cheep,show the code.

这里在合并时按照秩进行了路径压缩，将秩较小的树合并到大的上。

结构体

void Union(int a,int b)
{
    a=get_parent(a);
    b=get_parent(b);
    if(node[a].rank>node[b].rank)
        node[b].parent=a;
    else
    {    
        node[a].parent=b;
        if(node[a].rank==node[b].rank)
        {
            node[b].rank++;
        }
    }
}

数组

void Union(int i,int j)
{
    i=Find_Set(i);
    j=Find_Set(j);
    if(i==j) return ;
    if(rank[i]>rank[j])
    {
        set[j]=i;
    }
    else
    {
        if(rank[i]==rank[j])
        {
            rank[j]++;
        }
        set[i]=j;
    }
}

集合数统计

计算最后有多少元素父元素仍然为自己parent[x]==x,就算出有多少个不相交的集合

// 这里只放结构体的函数了
int count(int i){   // i为有效元素数目
    int c=0;
    while(i--){
        if(node[i].parent==i){
            c++;
        }
    }
    return c;
}

ACM典型例题：acm_hdu_1213

Reference

1. 傻子都能看懂的并查集入门-Ocean
2. wiki - 并查集