有限循环群的结构及子群生成元的判定
春秋十二月发表于 2024-03-20 14:49:00
群结构
定理1：若G为一个循环群，则G内每个满足ord(α)=s的元素α都是拥有s个元素的循环子群的生成元
证明：
定理2：若G为一个阶为n的有限循环群，g为对应的生成元，则对整除n的每个整数k，G都存在一个唯一的阶为k的循环子群H。
这个子群是由gn/k生成的。H是由G内满足条件ɑk=1的元素组成的，且G不存在其它子群
证明：
推论：从上述两定理可知有限循环群、子群及生成元的关系如下
例子：依据上述推论得如下
定理1：若G为一个循环群，则G内每个满足ord(α)=s的元素α都是拥有s个元素的循环子群的生成元
证明：
定理2：若G为一个阶为n的有限循环群，g为对应的生成元，则对整除n的每个整数k，G都存在一个唯一的阶为k的循环子群H。
这个子群是由gn/k生成的。H是由G内满足条件ɑk=1的元素组成的，且G不存在其它子群
证明：
推论：从上述两定理可知有限循环群、子群及生成元的关系如下
例子：依据上述推论得如下
非平凡子群生成元判定算法
输入：循环群G、某子群H的阶k
1）随机从G中选择一元素x≠e
2）若xk≠e，则转回1）。否则若k为素数，则x是H的生成元，跳到4）；若k为合数，则转到3）
3）遍历整除k的真因子d，若xd=e，则转回1）
4）输出x