下面这个问题来自 2015 年俄罗斯数学竞赛。

一个正方形棋盘能沿着网格线分成 n 个大小形状相同的小块，每块都有 k 个小格。证明：这个正方形棋盘一定能沿着网格线分成 k 个大小形状相同的小块，每块都有 n 个小格。

假设正方形棋盘的边长为 s ，则 nk = s²，即 n/s = s/k。假设它们约分后都等于 p/q。如果第一个分数约掉了 a 得到 p/q，这说明 ap = n，aq = s；如果第二个分数约掉了 b 得到 p/q，这说明 bp = s，bq = k。把正方形棋盘分成 q 行，每行 a 个小方格；把正方形棋盘分成 b 列，每列 p 个小方格。这就得到了 bq = k 个大小形状相同的小长方形，每个小长方形里都有 ap = n 个小格。