五、$ \Gamma(n) = (n-1)!$ 还是 $ \Gamma(n) = n! $ ?

伽玛函数找到了，我们来看看第二个问题，为何伽玛函数被定义为满足 $\Gamma(n)=(n-1)!$? 这看起来挺别扭的，如果我们稍微修正一下，把伽玛函数定义中的 $t^{x-1}$ 替换为 $t^x$

$$ \Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x}e^{-t}dt , $$

这不就可以使得 $\Gamma(n)=n!$了嘛。估计数学界每年都有学生问这个问题，然而答案却一直有一些争议。

欧拉最早的伽玛函数定义还真是如上所示，选择了$\Gamma(n)=n!$，事实上数学王子高斯在研究伽玛函数的时候， 一直使用的是如下定义：

$$ \Pi(x)=\int_{0}^\infty t^x e^{-t}\,dt ,$$

然而这个定义在历史上并没有流传开来。

欧拉在伽玛函数的推导中实际上引入了两类积分形式

$$\int_0^1 t^{x}(1-t)^{y}dt, \quad \quad \int_0^{\infty} t^{x}e^{-t}dt$$

现在我们分别称为欧拉一类积分和欧拉二类积分。勒让德追随欧拉的脚步，发表了多篇论文对欧拉积分进行了深入的研究和推广，不过在勒让德的研究中，对积分中的参数做了 $-1$ 的移位修改，主要定义为

$$ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt $$

和

$$ \Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1}e^{-t}dt .$$

$B(x,y)$ 现在称为贝塔积分或者贝塔函数。其中$\Gamma(x)$ 的这个定义选择导致了 $ \Gamma(n) = (n-1)!$。实际上伽马函数中的$\Gamma$符号历史上就是勒让德首次引入的，而勒让德给出的这个伽玛函数的定义在历史上起了决定作用，该定义被法国的数学家广泛采纳并在世界范围推广，最终使得这个定义在现代数学中成为了既成事实。