【2.18更新】：楠神写了一个非常gelivable的Shiny应用，用来动态展示图片压缩的效果随k的变化情况。谢大大把这个应用放到了RStudio的服务器上，大家可以点进去玩玩看了。

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今天我们来讲讲奇异值分解和它的一些有意思的应用。奇异值分解是一个非常，非常，非常大的话题，它的英文是 Singular Value Decomposition，一般简称为 SVD。下面先给出它大概的意思：

对于任意一个\(m \times n\)的矩阵\(M\)，不妨假设\(m > n\)，它可以被分解为

$$M = UDV^{T}$$

其中

• \(U\) 是一个\(m \times n\)的矩阵，满足\(U^{T}U = I_{n}\)，\(I_{n}\) 是\(n \times n\)的单位阵
• \(V\) 是一个\(n \times n\)的矩阵，满足\(V^{T}V = I_{n}\)
• \(D\) 是一个\(n \times n\)的对角矩阵，所有的元素都非负

先别急，我看到这个定义的时候和你一样晕，感觉信息量有点大。事实上，上面这短短的三条可以引发出 SVD 许多重要的性质，而我们今天要介绍的也只是其中的一部分而已。