关联规则（association rules）是一种广泛使用的模式识别方法，比如在购物篮分析（Market basket Analysis），网络连接分析（Web link），基因分析。我们常常提到的购物篮分析，它的典型的应用场景就是要找出被一起购买的商品集合。

关联规则的可能的应用场景有：

• 优化货架商品摆放，或优化邮寄商品目录的内容
• 交叉销售和捆绑销售
• 异常识别等

关于交易数据的表述形式

先说最简单的三种形式，水平表述、垂直表述和矩阵表述，直接看图：

接着是稍稍变换之后的两种表述形式：

• 排序表述（lexicographically sorted）
• 前缀树表述（prefix tree）

这三种数据表述形式（水平、垂直、前缀树）分别对应算法：apriori、Eclat 和 FP growth，本篇主要描述 apriori 和 FP growth 两种算法。

Apriori 算法

Apriori算法是一种最有影响的挖掘 0-1 布尔关联规则频繁项集的算法。这种算法利用了频繁项集性质的先验知识（因此叫做priori）。Apriori使用了自底向上的实现方式（如果集合 I 不是频繁项集，那么包含 I 的更大的集合也不可能是频繁项集），k - 1 项集用于探索 k 项集。首先，找出频繁 1 项集的集合($L_1$)，$L_1$用于找频繁 2 项集的集合 $L_2$，而 $L_2$ 用于找 $L_3$，如此下去，直到不能找到满足条件的频繁 k 项集。搜索每个 $L_k$ 需要一次全表数据库扫描。

我们假设一个很小的交易库：{1,2,3,4}, {1,2}, {2,3,4}, {2,3}, {1,2,4}, {3,4}, {2,4}

首先我们先要计算发生频数（或者叫做support）

item	support
{1}	3
{2}	6
{3}	4
{4}	5

1项集的最低频数是3，我们姑且认为他们都是频繁的。因此我们找到1项集所有可能组合的pairs：

item	support
{1,2}	3
{1,3}	1
{1,4}	2
{2,3}	3
{2,4}	4
{3,4}	3

在这里，{1,3}, {1,4} 不满足support大于3的设定（一般support是3/(3 + 6 + 4 + 5)），因此还剩下的频繁项集是：

item	support
{1,2}	3
{2,3}	3
{2,4}	4
{3,4}	3

也就是说，包含{1,3}, {1,4}的项集也不可能是频繁的，这两条规则被prune掉了；只有{2,3,4} 是可能频繁的，但它的频数只有2，也不满足support条件，因此迭代停止。

但我们可以想象，这种算法虽然比遍历的方法要好很多，但其空间复杂度还是非常高的，尤其是 $L_1$ 比较大时，$L_2$ 的数量会暴增。而且每次Apriori都要全表扫描数据库，开销也非常大。

即便如此 apriori 算法在很多场景下也足够用。在R语言中使用 arules 包来实现此算法（封装的是C实现，只要装载的 sparse matrix 可以载入内存，support 设置合理，速度非常快）。

FP growth

前文提到了用apriori需要全表扫描，对于超大型数据会出现一些问题。如果有一种方法，可以不每次全表扫描，而是用一个简洁的数据结构（压缩之后的数据库）把整个数据库的信息都包含进去，通过对数据结构的递归就完成整个频繁模式的挖掘，并保证最低的搜索消耗。这种方法的其中一种实现便是 FP growth算法。这个算法因为数据结构的 size 远远小于原始的数据库，所有的数据操作可以完全在内存中计算，挖掘速度就可以大大提高。

FP growth 算法包含两部分：存储的FP tree 和对应的FP 算法：

FP-tree 的结构

想想开头提到的交易数据的前缀树表述，那是一种压缩数据的方法。J. Han 对 FP-tree 的定义如下：

1. 根节点被标记为 root，item 按照一定的顺序连接为子树。以及一个frequent-item-header 表（其实就是item按照出现频率排序的表格，下图中左侧的表格）
2. 每个子树上包含如下信息：
   • item 的名称（比如下图中I2, I3, I5等）
   • 计数（support count）：到达这个节点的路径深度
   • 节点的连接情况（node-link，和哪个节点有关系）

FP-tee 的算法

我们拿一个例子来说明问题。假如我们数据库中记录的交易信息如下（最低support为3）：

No.	transactions	Sort
1	ABDE	BEAD
2	BCE	BEC
3	ABDE	BEAD
4	ABCE	BEAC
5	ABCDE	BEACD
6	BCD	BCD

首先我们先要了解所有的一项集出现的频率（support，重新排序的结果见上图的Sort部分）：B(6), E(5), A(4), C(4), D(4)。

对于排序后的每条记录的迭代后 FP-tree 结构变化过程为（也就是一条一条计数的增加）：

也就是说，原始数据被压缩到和最后那张图一样的结构上。

接着是比较关键的 FP-tree 的挖掘，过程见下图：

对于D这个节点来说，首先它的频繁项集是 $D(4)$，它包含在三条链路里：

$ ( B(6),E(5),A(4) ), ( B(6),E(5),A(4),C(2) ), ( B(6),C(1) ) $

第一条链路里D有两次出现，而其他两个链路在D的条件下各出现了一次。因此我们说D有3个前缀路径

$ (BEA:2),(BEAC:1),(BC:1) $

根据这个信息我们重构D条件下的 FP-tee，则如下图中 $Project:D(4)$ 的结构。当然还没有完，还要继续搜索可能的规则，因为我们的 support 为3，因此 $Project:D(4)$ 中，最末端的两个 $C(1)$ 则应该减枝掉。而A、E、B的频数依然可以被使用，即 $DA(3)、DE(3)、DB(4)$。

• 对于 $DA(3)$ 的前缀路径是 $Project:DA(3)$ 的树形结构，因此这条线的最终结果是 $DAE(3),DAEB(3),DAB(3)$。
• 对于 $DE(3)$ 的前缀路径是 $Project:DE(3)$ 的属性结构，最终结果是 $DEB(3)$
• 对于 $DB(4)$ 只有一个根，没有结果

对于C这个节点来说，同样可以找到它的前缀路径 $(BEA:2),(BE:1),(B:1)$，因此得到 $Project:C(4)$ 的结构，A被减枝掉，则最后剩余了 $CE(3),CEB(3),CB(4)$。

再向上，找A节点；找E节点；找B节点；这样一步一步搜索所有可能的结果。最终满足support大于3条件的频繁项集即为 $ DAE, DAEB, DAB, DEB, CE, CEB, CB, AE, AEB, AB, EB $

当然，上面只是简单的把 FP-tree 的原理说明了一下，里面的一些trick并没有提及，感兴趣的读者可以找一找相关paper。

FP-tree 算法在R中的实现

在R中没有现成的包来做这个事情，但有意思的是arules包的作者也写了 FP-tree 算法，只是没有封装而已。当然只要有算法的C代码，嵌入到R环境中也是不难的。

先到作者的主页下载相关的源代码，我选择是的fpgrowth.zip的C代码编译通过。

cd /home/liusizhe/download/fpgrowth/fpgrowth/src/
make
make install
./fpgrowth -m2 -n5 -s0.075 /home/liusizhe/experiment/census.dat frequent

参数的话，可以直接参考 fpgrowth 的帮助，比如上面m对应的是最小项集，n对应的最大项集，s是support值，后面接了 inputfile 和 outputfile 两个文件。

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当然，如果有必要的话，上面的算法都可以写到并行架构，比如 map-reduce。甚至如果只是求解二项集，在不同的语言环境下甚至几行代码就可以搞定。

参考目录和延伸阅读：

• http://en.wikipedia.org/wiki/Association_rule_learning
• http://en.wikipedia.org/wiki/Apriori_algorithm
• http://www.borgelt.net//courses.html#fpm