终于提交了论文，可以有时间更新一篇了。

一般的博弈，都会假设参与者是固定的不变的并且是共同知识。然而在少数情况，这种假设并不是很合适。比如说我们在对选举进行建模的时候，一种常见的假设是假设选民有个。当非常大的时候，比如考虑一个百万人参与的选举，事情就很难处理了。另一些时候我们会假设参与人数是一个连续的区间。这个方法大部分时候都有效，但是有些结论只能是在参与人数有限的时候得到，假设连续统的参与人数就会带来问题。因此一部分人发展出来一个叫做泊松博弈的东西，来处理参与人数不确定的情形。

需要注意的是，泊松博弈之所以没有被包括在博弈论的经典教程中，是因为它的应用范围非常窄，除了选举的例子，也就一些大规模的拍卖等开放式大人口参与的情形可以用一下。

泊松博弈之所以叫这个名字，是因为它假设总参与人数服从一个泊松分布

可以看到，固定参与者与参与人数的假设已经没了。当然你也可以假设参与人数服从一个其他的分布（比如负二项分布），但是泊松分布和其他的分布比起来，有很多很良好的性质，使得一般大家建模的时候都会用到它。

1. 如果参与者有一些不同的 types, 那么每一 type 的参与者人数也服从一个泊松分布，而且它们还是相互独立的。
2. 如果在均衡中，参与者使用某一个混合策略，假设在这个混合策略下，使用纯策略的概率为，那么使用的人数也服从一个泊松分布，强度为.
3. 知道自己处在博弈中不改变对于参与博弈总人数的估计。

第一二项很直观，第三项需要多一些说明。这里采用 Myerson (1997) 的例子。假设我们有一个博弈，它可能会有300人参与，也可能有600人参与，这两种可能性的先验概率是一样的，都是 1/2. 但是假设一个人一觉醒来发现自己已经在这个博弈之中了，那么简单的贝叶斯法则告诉他现在这个博弈有300人参与的可能性是 1/3, 有600人参与的可能性是 2/3. 很多时候我们不希望这样，希望避免这种“参与到博弈”这件事本身所带来的关于参与人数的信息。Myerson (1997) 证明了，当且仅当参与者人数服从一个泊松分布的时候，关于参与者人数的先验信息和后验信息相等。

另外，虽然我没有见过去实证上估计一个泊松博弈的，但原则上来说，它是不难估计的，泊松分布的似然函数很好写，估计一个博弈也不是新技术了。所以，你要是有一些大规模的在线拍卖数据一类的，用泊松博弈建模然后再估计是一个可选项。

参考文献：

Myerson, R. B. (1998). Population uncertainty and Poisson games.International Journal of Game Theory, 27(3), 375-392.

Myerson, R. B. (2000). Large poisson games. Journal of Economic Theory,94(1), 7-45.

Milchtaich, I. (2004). Random-player games. Games and Economic Behavior,47(2), 353-388.

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：知乎用户（登录查看详情）

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。 点击下载