IT博客汇 | 如何理解，在子博弈精炼纳什均衡里，对「在每一个子博弈上给出纳什均衡」?

如何理解，在子博弈精炼纳什均衡里，对「在每一个子博弈上给出纳什均衡」?

长泽雅美发表于 2015-12-24 10:16:00

我的理解是，SPNE要求players的策略必须蕴含所有的子博弈上的策略，不能因为某个子博弈是counterfactual的，就将它忽略掉。而对于某个subgame，player将在之前其他players选择的行动看做是参数，而不是信号。

举个Harris, Reny, and Robinson(1995)(The Existence of Subgame-Perfect Equilibrium in Continuous Games with Almost Perfect Information: A Case for Public Randomization on JSTOR)的例子：

四个players，分别是，Aragaki， Bob， Catherine，和David。Aragaki的行动空间是 $A_1 = [-1,1]$ , 而Bob， Catherine，和David的行动空间均为 $A_2 = A_3 = A_4 = \{0,1\}$ 。

整个博弈分两个阶段，在第一个阶段，Aragaki和 Bob同时选择，分别记做 $a_1$ 和 $a_2$ 。在第二阶段，Catherine和David均观测到 $a_1$ 和 $a_2$ ，并同时做出选择，即 $a_3$ 和 $a_4$ 。注意，和Aragaki和 Bob的情况不同，Catherine和David的行动空间和策略空间并不相同：

$S_i = A_i^{A_1 \times A_2} \text{ for } i = 3, 4$

他们的效用函数均记做: $u_i : \times_{i=1}^4 A_i \to \mathbb{R} \text{ for } i = 1,2, 3, 4$

这个博弈无穷多个子博弈，除了自身外，每个子博弈对应一个 $(a_1, a_2)$ 。我们可以理解为，在这个子博弈上，只有两个players，即Catherine和David，他们不会问这样的问题，为什么观测到的Aragaki和 Bob的行动是 $(a_1, a_2)$ 而不是 $(a_1^\prime, a_2^\prime)$ 。在这个子博弈上，Catherine和David的策略空间是 $A_3$ 和 $A_4$ , 效用函数： $u_i ( a_1, a_2, \cdot, \cdot): A_3 \times A_4 \to \mathbb{R} \text{ for } i = 3, 4$

-----------------------------------------------------------------------------

关于player将在之前其他players选择的行动看做是参数，而不是信号, 见恋爱中有哪些博弈？ - 长泽雅美的回答。如果Bob将Aragaki的第一步行动看做signgal，则只有一个NE。但如果用backward induction，则对应四种结果(SPNE不止4种)。

-----------------------------------------------------------------------------

接着第一部分的四人博弈，只是为了说明SPNE的存在并不是显然的。

$u_i = (2a_i - 1)a_1 \text{ for } i = 3, 4$ ，即Catherine和David自身的行动决定他们的支付是正还是负，而支付的绝对值由Aragaki的行动 $a_1$ 决定。

$u_2 = (1 - 2|a_2 - a_3|)(a_2+1)$ ，即Bob的支付是正还是负由是否他的行动和Catherine是否相同来决定，而支付的绝对值由自己的行动决定。

$u_1 =10 (1 - |a_3 - a_4|) + (2|a_2 - a_3|-1)|a_1| -a_1^2$ ，即Aragaki最希冀的是Catherine和David的行动相同。其次是Bob和Catherine的行动不同。

Claim：如果存在SPNE，那么Aragaki和Bob的均衡策略都不是纯策略。

首先，只要 $a_1 \neq 0$ , 必然 $a_3 = a_4$ 。但是这样对于Bob他的最优策略必然是 $a_2 = a_3$ .然而Aragaki可以提高自己的效用水平，通过选择 $-|a_1|$ 。

另外只有当Catherine和David的策略 $f_3, f_4$ 满足 $f_3(0) = f_4(0)$ 时， Aragaki才会选择 $a_1 = 0$ 。但这样一来上面的情况还是会出现。所以Aragaki的均衡策略不会是纯策略。

对于Bob，选择纯策略 $a_2$ ,则Aragaki的最优策略是 $\frac{1}{2}-a_2$ 。
但这么一来，对于Bob来说， $1-a_2$ 可以带来更高的效用。

另一方面，如果Bob选择混合策略，那么他应该让0和1的概率均为0.5，否则Aragaki的最优策略将是纯策略， $a_1 = 0$ 或者不存在。另一方面如果Bob不选择等可能的混合策略，则Aragaki会针对的选择纯策略。

所以这个博弈不存在SPNE，尽管效用函数连续，players有限，而且唯一的无穷行动空间也是紧致的。

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：长泽雅美

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。点击下载

此问题还有 3 个回答，查看全部。
延伸阅读：
期望效用和期望值的效用两者的具体概念和差别是什么？
微观经济学里的序数排列和基数排列都是什么？