记 $latex \{d_n\}$ 为第 $latex n+1$ 个素数和第 $latex n$ 个素数之差。数列 $latex \{d_n\}$ 和素数数列一样有很多有趣的性质和猜想。其中最古老的一个是：

猜想：$latex 2$ 在 $latex \{d_n\}$ 中出现过无穷次。

这是孪生素数猜想的另一种表述形式。1849 年，Polignac 把这个猜想推广为：

猜想：任意偶数都在 $latex \{d_n\}$ 中出现过无穷次。

如果记所有在 $latex \{d_n\}$ 中出现过无穷次的偶数的集合为 $latex S$，则上述两则猜想可以分别表述为 $latex S$ 包含 $latex 2$ 以及 $latex S$ 包含所有偶数。但长期以来人们甚至不知道 $latex S$ 是否空集。直到今年张益唐第一次证明了：

定理：$latex S$ 不是空集，且其最小值不大于 $latex 7\times 10^7$。

事实上，$latex 7\times 10^7$ 这一下界只是个粗略的估计。在张的论文发表后的一个月内，它就已经被迅速改进为 $latex 4\times 10^5$，下降了一百倍还多。

Pintz 指出，在张益唐的结论和他所用的工具的基础上，人们实际上可以立刻得到更强的结论：

定理：存在一个常数 $latex C$ 使得每 $latex C$ 个连续偶数中就有一个属于 $latex S$。即 $latex S$ 不但非空，且其在自然数中的密度是正的。

容易看出，如果 Polignac 的猜想是对的，则意味着 $latex \{d_n\}$ 是一个震荡非常剧烈的数列，不断交替出现很大的数和很小的数。这令人自然猜想这是否也能归纳为一则定理。事实上，Erdős 和 Turán 在 1948 年确实证明了：

定理：$latex \{d_n\}$ 中上升和下降的相邻项都出现过无穷次。

但这只说明 $latex \{d_n\}$ 确实在震荡，关于震荡的幅度，Erdős 在 1955 年猜测它会非常大：$latex \{d_{n+1}/d_n\}$ 的下界趋于 $latex 0$，上界趋于 $latex \infty$。同样是在张益唐的结论和他所用的工具的基础上，Pintz 证明了这个猜想不但是对的，而且很强：

定理：$latex \{d_{n+1}/d_n\}$ 的下界趋于 $latex 0$ 的速度快于 $latex \log^{-1}n$，上界趋于 $latex \infty$ 的速度快于 $latex \log n$。

用 Pintz 本人的话说：在刚刚过去的几个月里，一系列十年前会被认为是科幻小说的定理都被证明了。