IT博客汇 | 当教室突然安静——扰动，突变与回复

当教室突然安静——扰动，突变与回复

BaoPinsUi啊发表于 2024-01-29 11:32:04

作为学生，我想各位读者们应该在读书学习的时候多少经历过“原本嘈杂的教室突然变的鸦雀无声”的现象。对此已有相当多的答主做出了定性的解释:

1.嘈杂的人群说话的空隙偶然重叠会导致音量的突然下降

2.说话的人会为音量的减小感到警觉而放低说话的音量

基于这两点，我们可以为嘈杂的人群做一个简单的建模并数值模拟:

设人群共N人

$f_{n}(t)=g_n(t)*\frac{ln(1+\frac{10}{3}\int_{t-0.3}^{t}F_{n}(t)dt)}{ln(2)}*\frac{1}{2}(1+tanh(\color{red}{m}*[10(\int^{t}_{t-0.25}F_n(t)dt-\int^{t-0.5}_{t-0.75}F_n(t)dt)+\color{red}{n}]))+0.001g_n(t)$

$F_n=S_n(f_1,f_2,……f_N)$

其中 $f_n(t)$ 代表编号为n的人在t时刻发出的声响(类似于分贝,人在正常范围对"声响"的感知是线性的)， $F_n(t)$ 则是其听到的声响。在正常的嘈杂环境下二者的均值为1。 $f_n(t)$ 的第二部分 $\frac{ln(1+\frac{10}{3}\int_{t-0.3}^{t}F_{n}(t)dt)}{ln(2)}$ 代表了一小段时间(此处为0.3s)内环境音量平均大小对其说话声音的影响，采用 $\frac{ln(1+x)}{ln(2)}$ 而非正比的形式可以使得 $F$ 与 $f$ 稳定在不动点1附近，在正常情况下不过大或过小，而在发生突变至0后能自行脱离零点回复至1。第三部分 $\frac{1}{2}(1+tanh(\color{red}{m}*[10(\int^{t}_{t-0.25}F_n(t)dt-\int^{t-0.5}_{t-0.75}F_n(t)dt)+\color{red}{n}]))$ 描述了声音的变化对其影响，标红的m、n都是可调的参数，n代表了引起人警觉的中心阈值，而2/m代表这一“警觉”过渡的“宽度”。当声音在半秒内的平均变化率 $10(\int^{t}_{t-0.25}F_n(t)dt-\int^{t-0.5}_{t-0.75}F_n(t)dt)$ 大于-n+1/m时不会造成任何影响，小于-n+1/m时人会略微放低声音，而小于-n-1/m则会使人彻底闭口不言。

$S_n(t)$ 决定了其听到声音的方式，且满足 $x=S_n(x,x,……,x)$ ，视情况可以是随距离衰减，或直接对所有 $f_n$ 取平均。 $g_n(t)$ 表示他在t时刻发言的意愿，g(t)均值为1，在0与2间过渡平滑的随机的跳动，此处我令 $g_n(t-X)=1+tanh(7*(sin(A*t)+sin(B*t)+……+sin(E*t))$ ，其中A,B…E都是诸如 $\sqrt{11.4514}$ 的无理数，而X则是对每个n都不同的随机数。

最末一项 $0.001g_n(t)$ 是用来给 $f_n$ 的取值兜底的，以免突变过于剧烈使得其直接严格跌落到0，那就没得玩了，突变后音量还得升回来呢。然而这一项多少有点败笔的意思，总之它“唯像”式的保证了突变以及沉默后音量的回升。

此处我将环境定在一个四十人的教室，考虑到狭小的教室内声音几乎不会衰减，我设 $S_n=\frac{f_1+f_2+……+f_{40}}{40}$ 。这一举动将极大的方便了我们的计算，因为我们可以直接将方程改写为 $F(t)=\frac{g_1+g_2,+……+g_{40}}{40}*\frac{ln(1+\frac{10}{3}\int_{t-0.3}^{t}F(t)dt)}{ln(2)}*\frac{1}{2}(1+tanh(\color{red}{5}*[10(\int^{t}_{t-0.25}F(t)dt-\int^{t-0.5}_{t-0.75}F(t)dt)+\color{red}{1.5}]))+0.001\frac{g_1+g_2+……+g_{40}}{40}$ 仅用到一个F，而不是40个F和f，这将在后面的数值模拟中帮助我们节省大量的算力。

下面就到了喜闻乐见的写程序(拉屎山)环节:

import math
import numpy as np
#迭代方程
def A(x,y):
	k=math.log1p(x)/math.log(2)*0.5*(1+math.tanh(5*(y+1.5)))
	return k
#随机函数
def a(t):
	c=1+math.tanh(7*(math.sin((math.sqrt(3))*0.7*t)+math.sin((math.sqrt(5))*0.7*t)+0.332*math.sin((math.sqrt(16))*0.7*t)+math.sin((math.sqrt(14))*0.7*t)+1.02*math.sin((math.sqrt(2.5803)*0.7*t))))
	return c

def b(t):
	d=(a(t)+a(t+10)+a(t+20)+a(t+30)+a(t+40)+a(t+50)+a(t+60)+a(t+70)+a(t+80)+a(t+90))/10
	return d

def g(t):
	e=(b(t)+b(t+100)+b(t+200)+b(t+300))/4
	return e
#时间步长

step=round(0.05,5)	

#F在t为0前取值的初始化
dict={}#迭代数据暂存
hhh=-1
while hhh<=0:
	dict[hhh]=g(hhh)
	hhh=round(hhh+step,5)

#记录突变时间	
timelist=[]	
count=0	
realcount=0
#用于绘图记录数据
datadict={}#响度记录
gdata={}#发言意愿记录
#迭代循环	
t=0
while t<=360000:
    fl=(dict[round(t-0.05,5)]+dict[round(t-0.1,5)]+dict[round(t-0.15,5)]+dict[round(t-0.2,5)]+dict[round(t-0.25,5)]+dict[round(t-0.3,5)])/6
    fv=(((dict[round(t-0.05,5)]+dict[round(t-0.1,5)]+dict[round(t-0.15,5)]+dict[round(t-0.2,5)]+dict[round(t-0.25,5)])/5)-((dict[round(t-0.55,5)]+    dict[round(t-0.6,5)]+dict[round(t-0.65,5)]+dict[round(t-0.7,5)]+dict[round(t-0.75,5)])/5))*2	
    dict[t]=g(t)*A(fl,fv)+0.001*g(t)
    datadict[t]=dict[t]
    gdata[t]=g(t)
    del dict[round(t-0.8,5)]
    #以上递推模拟
    last=count
    if (dict[round(t-0.05,5)]+dict[round(t-0.1,5)]+dict[round(t-0.15,5)]+dict[round(t-0.2,5)]+dict[round(t-0.25,5)])/5>=0.1:
    	count=0
    else:
    	count=1
    	
    if last-count<=-1:
    	realcount=realcount+1
    	timelist.append(t)
#以上突变计录  	
   
    t=round(t+step,5)
   	


#1.75，50h，0     1.6 43    1.5 187(100h410个)     1.4 约475     1.3 约1250     1.2 约2550        1.1 约5075    1 约9200
#以下突变绘制
import matplotlib.pyplot as plt
#绘图循环
n=1
databar={}
kkk=-5
tmd=0.5
while kkk<=5:
	databar[kkk]=0
	kkk=round(kkk+0.05,5)#平均值初始化
while n<=realcount:
    ctime=timelist[(n-1)]
    x_values = list(np.arange(ctime-5, ctime+5,0.05))
    y_values = [datadict[round(x,5)] for x in x_values]
   # g_values= [gdata[round(x,5)] for x in x_values]
    
    x_values=list(np.arange(-5,5,0.05))
    if datadict[round(ctime,5)]>=0.06:
    	tmd=0.7
    else:
    	tmd=0.01
    plt.plot(x_values, y_values,alpha=tmd)
    
#    plt.plot(x_values,g_values,"c-") 
    n=round(n+1,2)
T=-5
while T<=5: #求均值循环
    for m in timelist:
	    databar[T]=databar[T]+(datadict[round(m+T,5)])/realcount
    T=round(T+0.05,5)
data_values = [databar[round(x,5)] for x in x_values]
plt.plot(x_values, data_values,"c-")
plt.axis([-5, 5, 0, 2])
plt.show()

这里的可视化部分我按需修改了很多，放上来的这一版最终的效果是筛选所有突变，绘制均值并着重标出偏离过大的数据。想要自己跑着玩的话还请自行修改

万事俱备，终于可以开始模拟了。在模拟运行的第512s，第一个突变出现了!(ohhhhhhhhhhhh)

随手写的式子，竟然真的产生了符合预期的输出。让程序继续运行下去，在 $m=5，n=1.5$ 的参数下，模拟的100h内产生了410个突变，这是记录的一些有趣的数据:

当然这样零散的数据意义不大，接下来我们将这410个突变绘制在一起并取平均值:

可见在本模型下，“突然安静”现象的典型特征是音量先经历一段时长在0.4s左右突增，随后以相反的速度在相同的时间内减小到0.75左右，再随后剧烈的衰减至零，保持一至两秒静默后回升。这在现实中均有对应解释，对应着“凑巧出现的波谷前对应的波峰”→“凑巧出现的波谷”→“众人察觉到什么，纷纷闭嘴”→“大家一脸懵逼”→“危机解除，继续聊天”的过程。

值得注意的是图中几条快速回升的数据，它们在下降段同样不如其它数据剧烈，可以将其解释为当下降过程延长时，最后一个人察觉前已经有人意识到“老师没有来，这是场误会”，于是没有出现彻底的静默。

在我出生至现在的七坤年中，我一共经历了三次“突然安静”现象，其中包括一次“不彻底的突变”。虽然能够使得这一场景出现的条件(原则上不能说话的时间，老师不在，大家聊的热火朝天)很少能一起满足，我仍然认为100h内出现410次突变过高了。我又在不同的参数n下进行了时长50h的模拟，结果如下:

n=1，184次/h

n=1.1，101.5次/h

n=1.2，51次/h

n=1.3，25次/h

n=1.4，9.5次/h

n=1.5，4.1次/h

n=1.6，0.86次/h

n=1.75，0次

可见每小时安静数大致满足公式 $y(n)=e^{-8.641412n+14.162}$

还有不少想说的，以后慢慢写罢

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：BaoPinsUi啊

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