有趣的是，人类对人工智能发展速度的预期，常常既极端低估，又极端高估。在 AlphaGo 挑战李世乭之前，大多数人本能地拒绝相信人工智能可以达到这样的高度，认为围棋中某些普遍被认为是属于人类的强项，例如大局观、直觉、平衡感、洞察力，是人工智能不可逾越的高峰。甚至有些人在看到对局结果之后，还是固执坚信人工智能只是以暴力和统计学堆叠出胜利，并没有真正展现出人类大脑特有的能力。但另一方面，很多人又在一夜之间开始担忧人工智能统治人类的未来，似乎人工智能从学会下围棋到征服世界，只有一步之遥。而事实是，人工智能早就开始在许多关于直觉和美的领域里展现出创造性。三十年前，Harold Cohen 已经开始能够让电脑自动画出人们误以为来自人类画家的画作。二十年前，David Cope 编写的程序写出的肖邦风格的马祖卡舞曲已经传神到即使音乐专业的听众也难辨真伪。归根结底，人的大脑在功能性的层面上只是一架精密的机器而已。既然是机器，就有被数值计算模拟和逼近的可能性。AlphaGo 所展现出的围棋开局时良好的「棋感」，再好不过地说明了所谓的直觉并非无法量化，只是无法被我们自己量化而已。但这是人类的失败么？从茹毛饮血的穴居时代到游弋太阳系的今天，人类的进步从来就不体现为本身生物能力的优越，而体现于不断创造出工具成为自我的延伸。我们制作出的机器跑得更快，飞得更高，算得更准，想得更深。但是归根结底，定义人性的并不 ...继续阅读 (10)

我们离围棋之神还有多远？关于 AlphaGo 最大的未知数之一，是它自我对局训练的效率。按照目前公开的讯息，它的棋力一直在随着时间稳定上升，直到不久之前刚刚超越了人类顶尖棋手的水准。看起来假以时日，它的棋力还会进一步成长。但这个预计完全在未定之天。事实上，过去这段时间以来它的棋力增长本身是个奇迹，而非必然。通过自我对局的输赢反馈来提升能力，最大的问题在于容易陷入机器学习中所谓「过拟合」的状态。简单地说，就是因为自己的对手也是自己，从而陷入一个自洽的逻辑圈无法自拔。其结果是缺陷变成了优势，盲点变成了禁区。初始经验中的噪音，逐渐固化成了金科玉律。实际上并不存在的界限，因为从来没有试图跨越，结果变成了真的限制。最后「自以为」自己下得很好，而且越下越好，其实只是越来越适应自己而已。DeepMind 的团队当然想到了这个问题。他们的解决方案是不仅仅让 AlphaGo 自我对弈，也不断让不同等级的 AlphaGo 之间互相越级对弈作为校准，以避免出现随着不断进化，客观棋力反而萎缩的现象。问题在于，这种校准终究是在 AlphaGo 的「家族」内部进行的，因为这世界上暂时还不存在可以和它媲美的第二家对弈系统，可以进行大规模的互相检验。自己近亲繁殖的结果是有些 bug 永远都无法被自己意识到，只有在和棋风棋路截然不同的对手的对弈中才有可能暴露出来。譬如人类这个对手。AlphaGo 和李世乭的对弈，可 ...继续阅读 (15)

AlphaGo 是否会打劫终于不成为争议了。但它其实根本就不是一件应当被争议的事。打劫只是围棋中「不得全局同形再现」这一条规则的推论，而这条规则对 AI 来说实现起来再简单不过：只要在搜索决策树的时候，跳过所有已经出现过的局面就好了。这当然不是说，AlphaGo 的实现细节中一定没有任何针对劫的专门逻辑存在。一些特定的优化也许是有意义的。但是以为 AlphaGo 和人一样，有必要去辨认劫的特性，选择和保存劫材，在多个劫同时存在的局面下做复杂的战略决策，只不过是把人的思维方式错误地套用在遵循完全不同逻辑的神经网络上而已。神经网络自我学习的特性保证了只要让它遵循围棋的基本规则，它完全可以「显得」像是懂得复杂的围棋概念，但这绝不意味着它真的「在乎」这些概念。AlphaGo 的主要作者中的两位 Chris Maddison 和 Aja Huang 在他们 2015 年发表过的一篇论文 Move Evaluation in Go Using Deep Convolutional Neural Networks 中写过这样一段话（原文为英文，以下是我的翻译）：很明显，神经网络内在地理解了围棋的许多深奥的层面，包括好形，布局，定式，手筋，劫争，实地，虚空。令人惊异的是这样一个单独、统一、直接的架构就能把围棋的元素掌握到这个程度，而不需要任何明确的先导。归根结底，劫是一个完全人为构造的概念。人们用 ...继续阅读 (13)

很多人都注意到，AlphaGo 的棋风有个有意思的特点：它很少下出「好棋」，也就是凶狠的杀招，并且还时不时似乎下出缓手。它局面从未大幅领先过，永远只赢一点点。为什么呢？要训练一个神经网络，需要定义一个反馈函数，即告诉这个神经网络怎样的决策是好的。在 AlphaGo 的设计中有个重要的细节：训练 AlphaGo 的神经网络时所采用的反馈函数只依赖于输赢，而同输赢的幅度无关。换言之，对 AlphaGo 而言，赢一目的棋和赢十目的棋一样好，它追求的只是单纯的胜负而已。但单纯追求胜率实际上就意味着放弃追求大胜。因为在多元优化问题中靠近边缘的地方，不同的优化目标之间几乎总是彼此矛盾的。比方说，如果一个局面需要考虑三手可能的棋，第一手可以赢十目，有 70% 的胜率，第二手可以赢一目，有 80% 的胜率。第三手可以赢二目，有 90% 的胜率。首先第二手棋显然全面劣于第三手棋，不应该列入考虑。而值得比较的第一和第三手棋之间，胜率高的选择一定是胜利幅度较低的那一个。——很显然，这就是典型的帕雷托优化问题。第二手棋不是帕雷托最优的，或者说不够接近优化的边缘。而在边缘处的第一手和第三手，两个指标的优劣一定彼此相反。（这当然不是说，围棋中追求胜率和追求领先幅度是两件矛盾的事。事实上，在绝大多数情况下，它们的指向都是相同的，一手导致领先幅度大幅下降的棋一般来说也会导致胜率大幅下降，但它根本就不会被列入权衡， ...继续阅读 (23)

本文不代表我的雇主。一、很多人都注意到，AlphaGo 的棋风有个有意思的特点：它很少下出「好棋」，也就是凶狠的杀招，并且还时不时似乎下出缓手。它局面从未大幅领先过，永远只赢一点点。为什么呢？要训练一个神经网络，需要定义一个反馈函数，即告诉这个神经网络怎样的决策是好的。在 AlphaGo 的设计中有个重要的细节：训练 AlphaGo 的神经网络时所采用的反馈函数只依赖于输赢，而同输赢的幅度无关。换言之，对 AlphaGo 而言，赢一目的棋和赢十目的棋一样好，它追求的只是单纯的胜负而已。但单纯追求胜率实际上就意味着放弃追求大胜。因为在多元优化问题中靠近边缘的地方，不同的优化目标之间几乎总是彼此矛盾的。比方说，如果一个局面需要考虑三手可能的棋，第一手可以赢十目，有 70% 的胜率，第二手可以赢一目，有 80% 的胜率。第三手可以赢二目，有 90% 的胜率。首先第二手棋显然全面劣于第三手棋，不应该列入考虑。而值得比较的第一和第三手棋之间，胜率高的选择一定是胜利幅度较低的那一个。——很显然，这就是典型的帕雷托优化问题。第二手棋不是帕雷托最优的，或者说不够接近优化的边缘。而在边缘处的第一手和第三手，两个指标的优劣一定彼此相反。（这当然不是说，围棋中追求胜率和追求领先幅度是两件矛盾的事。事实上，在绝大多数情况下，它们的指向都是相同的，一手导致领先幅度大幅下降的棋一般来说也会导致胜率大幅下降，但 ...继续阅读 (13)

2016 年 1 月 28 日，Deepmind 公司在 Nature 杂志发表论文 Mastering the game of Go with deep neural networks and tree search，介绍了 AlphaGo 程序的细节。本文是对这篇论文的阅读笔记，以及关于人工智能和围棋进一步的一些想法。声明：我是数学 PhD 和软件工程师，但不是人工智能领域的专家。我也不会下围棋。一、AlphaGo 总体上由两个神经网络构成，以下我把它们简单称为「两个大脑」，这并非原文中的提法，只是我的一个比喻。第一个大脑（Policy Network）的作用是在当前局面下判断下一步可以在哪里走子。它有两种学习模式：一个是简单模式，它是通过观察 KGS（一个很多优秀棋手参与的围棋对弈服务器）上的对局数据来训练的。粗略地说：这可以理解为让大脑学习「定式」，也就是在一个给定的局面下人类一般会怎么走，这种学习不涉及对优劣的判断。另一个是自我强化学习模式，它通过自己和自己的海量对局的最终胜负来评估每一步走子的优劣。因为是自我对局，数据量可以无限增长。第二个大脑（Value Network）的作用是学习评估整体盘面的优劣。它也是通过海量自我对局来训练的（因为采用人类对局会因为数据太少而失败）。在对弈时，这两个大脑是这样协同工作的：第一个大脑的简单模式会判断出在当前局面下有哪些走法值得考虑 ...继续阅读 (14)

2016 年 1 月 28 日，Deepmind 公司在 Nature 杂志发表论文 Mastering the game of Go with deep neural networks and tree search，介绍了 AlphaGo 程序的细节。本文是对这篇论文的阅读笔记，以及关于人工智能和围棋进一步的一些想法。声明：我是数学 PhD 和软件工程师，但不是人工智能领域的专家。我也不会下围棋。一、AlphaGo 总体上由两个神经网络构成，以下我把它们简单称为「两个大脑」，这并非原文中的提法，只是我的一个比喻。第一个大脑（Policy Network）的作用是在当前局面下判断下一步可以在哪里走子。它有两种学习模式：一个是简单模式，它通过观察 KGS（一个围棋对弈服务器）上的对局数据来训练。粗略地说：这可以理解为让大脑学习「定式」，也就是在一个给定的局面下人类一般会怎么走，这种学习不涉及对优劣的判断。另一个是自我强化学习模式，它通过自己和自己的海量对局的最终胜负来学习评价每一步走子的优劣。因为是自我对局，数据量可以无限增长。第二个大脑（Value Network）的作用是学习评估整体盘面的优劣。它也是通过海量自我对局来训练的（因为采用人类对局会因为数据太少而失败）。在对弈时，这两个大脑是这样协同工作的：第一个大脑的简单模式会判断出在当前局面下有哪些走法值得考虑。第一个大脑的复杂 ...继续阅读 (13)

记为第个素数和第个素数之差。数列和素数数列一样有很多有趣的性质和猜想。其中最古老的一个是：猜想：在中出现过无穷次。这是孪生素数猜想的另一种表述形式。1849 年，Polignac 把这个猜想推广为：猜想：任意偶数都在中出现过无穷次。如果记所有在中出现过无穷次的偶数的集合为，则上述两则猜想可以分别表述为包含以及包含所有偶数。但长期以来人们甚至不知道是否空集。直到今年张益唐第一次证明了：定理：不是空集，且其最小值不大于。事实上，这一下界只是个粗略的估计。在张的论文发表后的一个月内，它就已经被迅速改进为，下降了一百倍还多。Pintz 指出，在张益唐的结论和他所用的工具的基础上，人们实际上可以立刻得到更强的结论：定理：存在一个常数使得每个连续偶数中就有一个属于。即不但非空，且其在自然数中的密度是正的。容易看出，如果 Polignac 的猜想是对的，则意味着是一个震荡非常剧烈的数列，不断交替出现很大的数和很小的数。这令人自然猜想这是否也能归纳为一则定理。事实上，Erdős 和 Turán 在 1948 年确实证明了：定理：中上升和下降的相邻项都出现过无穷次。但这只说明确实在震荡，关于震荡的幅度，Erdős 在 1955 年猜测它会非常大：的下界趋于，上界趋于。同样是在张益唐的结论和他所用的工具的基础上，Pintz 证明了这个猜想不但是对的，而且很强：定理：的下界趋于的速度快于，上界趋于的速度 ...继续阅读 (31)

记 $latex \{d_n\}$ 为第 $latex n+1$ 个素数和第 $latex n$ 个素数之差。数列 $latex \{d_n\}$ 和素数数列一样有很多有趣的性质和猜想。其中最古老的一个是：猜想：$latex 2$ 在 $latex \{d_n\}$ 中出现过无穷次。这是孪生素数猜想的另一种表述形式。1849 年，Polignac 把这个猜想推广为：猜想：任意偶数都在 $latex \{d_n\}$ 中出现过无穷次。如果记所有在 $latex \{d_n\}$ 中出现过无穷次的偶数的集合为 $latex S$，则上述两则猜想可以分别表述为 $latex S$ 包含 $latex 2$ 以及 $latex S$ 包含所有偶数。但长期以来人们甚至不知道 $latex S$ 是否空集。直到今年张益唐第一次证明了：定理：$latex S$ 不是空集，且其最小值不大于 $latex 7\times 10^7$。事实上，$latex 7\times 10^7$ 这一下界只是个粗略的估计。在张的论文发表后的一个月内，它就已经被迅速改进为 $latex 4\times 10^5$，下降了一百倍还多。Pintz 指出，在张益唐的结论和他所用的工具的基础上，人们实际上可以立刻得到更强的结论：定理：存在一个常数 $latex C$ 使得每 $latex C$ 个连续偶数中就有一个属于 $ ...继续阅读 (15)

有两个数学家 Busemann 和 Petty 在 1956 年提出了这样的一个猜想：如果有两个关于原点对称的凸体，其中第一个和任意一个过原点的（余维为 1 的）超平面的交集的大小都比第二个和同一超平面的交集大，能不能说明第一个凸体比第二个大？在二维这是显然的，所以这个猜想主要是关于高维情形的。大部分数学家都会直觉地猜测说这个猜想是对的，但是到了 1975 年，另外两个数学家 Larman 和 Rogers 给出了当维度大于 12 时的一个非常复杂的反例，大出人们意料之外。又过了十年，1986 年，Ball 证明了一个简单而漂亮的定理：任何中心放在原点的单位立方体，无论维度为何，和过原点的超平面的交集都不大于 √2。这个定理立刻导出了 Busemann – Petty 猜想的简单反例，因为当维度大于 10 的时候，中心放在原点的体积为 1 的球和超平面交集是大于 √2 的，所以 Busemann – Petty 猜想在 10 维以上都是错的。这个结果过了一段时间被 Giannopoulos 和 Bourgain 独立地改进为 7 维以上都是错的，后来 Papadimitrakis 和 Gardner 又独立地把它改进为 5 维以上都是错的，这样只剩下 3 维和 4 维未知了。90 年 Grinberg, Rivin, Gardner 和张高勇的一系列工作证明 ...继续阅读 (29)

有两个数学家 Busemann 和 Petty 在 1956 年提出了这样的一个猜想：如果有两个关于原点对称的凸体，其中第一个和任意一个过原点的（余维为 1 的）超平面的交集的大小都比第二个和同一超平面的交集大，能不能说明第一个凸体比第二个大？在二维这是显然的，所以这个猜想主要是关于高维情形的。大部分数学家都会直觉地猜测说这个猜想是对的，但是到了 1975 年，另外两个数学家 Larman 和 Rogers 给出了当维度大于 12 时的一个非常复杂的反例，大出人们意料之外。又过了十年，1986 年，Ball 证明了一个简单而漂亮的定理：任何中心放在原点的单位立方体，无论维度为何，和过原点的超平面的交集都不大于 √2。这个定理立刻导出了 Busemann – Petty 猜想的简单反例，因为当维度大于 10 的时候，中心放在原点的体积为 1 的球和超平面交集是大于 √2 的，所以 Busemann – Petty 猜想在 10 维以上都是错的。这个结果过了一段时间被 Giannopoulos 和 Bourgain 独立地改进为 7 维以上都是错的，后来 Papadimitrakis 和 Gardner 又独立地把它改进为 5 维以上都是错的，这样只剩下 3 维和 4 维未知了。90 年 Grinberg, Rivin, Gardner 和张高勇的一系列工作证明 ...继续阅读 (16)

刚刚看到一篇微博，说加州一名小姑娘在做家庭作业时发现美国除了第八任总统范布伦之外所有的总统都有一个共同的祖先：1215 年签署大宪章的英王约翰。这条消息迅速激起了各种惊讶和感叹的声音，从权力在民主社会的隐秘世袭到共济会的阴谋论，不一而足。但是只要稍微多想一想，就会发现「美国的所有总统都有共同的祖先」这件事，不但不应该令人惊叹，反而应当是显然的事。事实上，随便从美国选取几十个人，他们在若干年前都几乎一定会有一位相同的祖先，这是很容易计算出来的。让我们简单估算一下，不考虑跨种族通婚的因素：一个人的父母辈有两人，祖父母辈有四人，依此追溯，第 n 代祖先会有 2^n 个人。以平均 20 年一代人来计算，一个现代美国人在 1215 年的祖先共有 2^40 个人，也就是一万亿人！很显然，当时全体白人的总数也远远小于这个数字，所以事实上当时的每个人只要后来没有绝嗣，都几乎一定是这个人的祖先，而且在他的家谱的不同位置重复出现过很多次。——这听起来很荒谬，但是是真的。既然如此，每个现代美国人在 13 世纪的白人祖先都几乎构成了当时白人的全体，那他们的交集非空，一点也不值得奇怪。上面的计算当然过于粗略，更准确量化的数学结论要用到不太初等的概率论计算。1998 年，耶鲁大学统计系的 Chang 在一篇论文里精细地估算了这个问题：在一个人数为 N 的族群里，假定交配关系是随机的，大约会在多少代人以前出现一 ...继续阅读 (28)

刚刚看到一篇微博，说加州一名小姑娘在做家庭作业时发现美国除了第八任总统范布伦之外所有的总统都有一个共同的祖先：1215 年签署大宪章的英王约翰。这条消息迅速激起了各种惊讶和感叹的声音，从权力在民主社会的隐秘世袭到共济会的阴谋论，不一而足。但是只要稍微多想一想，就会发现「美国的所有总统都有共同的祖先」这件事，不但不应该令人惊叹，反而应当是显然的事。事实上，随便从美国选取几十个人，他们在若干年前都几乎一定会有一位相同的祖先，这是很容易计算出来的。让我们简单估算一下，不考虑跨种族通婚的因素：一个人的父母辈有两人，祖父母辈有四人，依此追溯，第 n 代祖先会有 2^n 个人。以平均 20 年一代人来计算，一个现代美国人在 1215 年的祖先共有 2^40 个人，也就是一万亿人！很显然，当时全体白人的总数也远远小于这个数字，所以事实上当时的每个人只要后来没有绝嗣，都几乎一定是这个人的祖先，而且在他的家谱的不同位置重复出现过很多次。——这听起来很荒谬，但是是真的。既然如此，每个现代美国人在 13 世纪的白人祖先都几乎构成了当时白人的全体，那他们的交集非空，一点也不值得奇怪。上面的计算当然过于粗略，更准确量化的数学结论要用到不太初等的概率论计算。1998 年，耶鲁大学统计系的 Chang 在一篇论文里精细地估算了这个问题：在一个人数为 N 的族群里，假定交配关系是随机的，大约会在多少代人以前出现一 ...继续阅读 (13)

Johnson–Lindenstrauss 定理是我在今晚的一个学术报告里听说的一个非常令人惊讶的定理。简单说来，它的结论是这样的：一个一百万维空间里的随便一万个点，一定可以几乎被装进一个几十维的子空间里！严格说来是这样：在 M 维空间中的 N 个点，几乎总是被包含在一个 D 维子空间里的。这里的 D 按照直觉应当等于 N 的阶，可是实际上我们只需要让 D 是 log(N) 的阶就可以了。这里「几乎被包含在」的确切含义是它在这个子空间上的投影几乎是等距的（允许有一个 ε 的误差，而常数 D/log(N) 就依赖于 ε）。很显然，这件事情在高维数据降维时有极重要的意义。这个定理的证明很初等。它依赖于这样的一个基本概率事实：一个随机的 M 维单位向量到一个随机的 D 维子空间上的投影的长度几乎一定约等于 D/M。这件事情本身也有点不同寻常，虽然它可以通过简单的计算来证实。这是概率论计算中常常出现的由于高维度而导致的反直觉现象的一例。这让我想起另一个高维度导致的悖论，是我在学大数定律时了解到的。在 M 维单位立方体中随机取一个点，当 M 充分大时根据大数定理容易算出这个点到立方体中心的距离几乎一定等于 √(M/3)/2。于是这就说明 M 维实心单位立方体几乎就完全位于一个半径为 √(M/3)/2 的球壳上。这里没有任何捣鬼之处，事实上就是如此。 ...继续阅读 (26)

Johnson–Lindenstrauss 定理是我在今晚的一个学术报告里听说的一个非常令人惊讶的定理。简单说来，它的结论是这样的：一个一百万维空间里的随便一万个点，一定可以几乎被装进一个几十维的子空间里！严格说来是这样：在 M 维空间中的 N 个点，几乎总是被包含在一个 D 维子空间里的。这里的 D 按照直觉应当等于 N 的阶，可是实际上我们只需要让 D 是 log(N) 的阶就可以了。这里「几乎被包含在」的确切含义是它在这个子空间上的投影几乎是等距的（允许有一个 ε 的误差，而常数 D/log(N) 就依赖于 ε）。很显然，这件事情在高维数据降维时有极重要的意义。这个定理的证明很初等。它依赖于这样的一个基本概率事实：一个随机的 M 维单位向量到一个随机的 D 维子空间上的投影的长度几乎一定约等于 D/M。这件事情本身也有点不同寻常，虽然它可以通过简单的计算来证实。这是概率论计算中常常出现的由于高维度而导致的反直觉现象的一例。这让我想起另一个高维度导致的悖论，是我在学大数定律时了解到的。在 M 维单位立方体中随机取一个点，当 M 充分大时根据大数定理容易算出这个点到立方体中心的距离几乎一定等于 √(M/3)/2。于是这就说明 M 维实心单位立方体几乎就完全位于一个半径为 √(M/3)/2 的球壳上。这里没有任何捣鬼之处，事实上就是如此。 ...继续阅读 (10)

上个周末去了一趟密苏里州的 St. Louis。这里一百年前还是美国的第四大都市，拜得天独厚的地理条件所赐，是整个美国的水陆交通枢纽。一百年后，这里已经变成了一个乡下小城。它最著名的地标建筑当然是上世纪六十年代建成的 Gateway Arch，是为纪念美国的西部大开发而树立的一座纪念碑，高 192 米，是至今为止全美最高的纪念碑。（下图转载自wiki。）直到到了现场我才意识到它真的非常高，高到看起来有点不自然的程度。而另一个让我到了现场才意识到的问题是，作为这么高的一个拱，要稳定地树立在那里，它的形状不可能是任意弯成的。事实上，它的曲线是在数学上被唯一确定的。我不知道这个事实在建筑从业者中是不是尽人皆知，但是我自己至少此前从来没有想到过。确切来说，它的曲线一定是悬链线，也就是一根绳子固定两头后自然下垂得到的曲线（当然要经过一个上下反转）。这个事实可以这样简单的推出：一根悬绳的曲线所满足的数学要求是每个质点所受到的三个力——即左侧和右侧的拉力以及自身的重力——必须刚好平衡。而这样的一个拱要想保持稳定，所需要满足的数学要求则是每一小段所受到的三个力——即左侧和右侧的推力以及自身的重力——必须刚好平衡。容易看出，这两种关系正好相差一个正负号，所以把悬链线翻过来就是拱的曲线。悬链线早在文艺复兴时代之前就吸引了数学家的注意，伽利略曾经错误地以为悬链线就是抛物线（看起来确实很像），莱布尼茨、惠 ...继续阅读 (34)

上个周末去了一趟密苏里州的 St. Louis。这里一百年前还是美国的第四大都市，拜得天独厚的地理条件所赐，是整个美国的水陆交通枢纽。一百年后，这里已经变成了一个乡下小城。它最著名的地标建筑当然是上世纪六十年代建成的 Gateway Arch，是为纪念美国的西部大开发而树立的一座纪念碑，高 192 米，是至今为止全美最高的纪念碑。（下图转载自wiki。）直到到了现场我才意识到它真的非常高，高到看起来有点不自然的程度。而另一个让我到了现场才意识到的问题是，作为这么高的一个拱，要稳定地树立在那里，它的形状不可能是任意弯成的。事实上，它的曲线是在数学上被唯一确定的。我不知道这个事实在建筑从业者中是不是尽人皆知，但是我自己至少此前从来没有想到过。确切来说，它的曲线一定是悬链线，也就是一根绳子固定两头后自然下垂得到的曲线（当然要经过一个上下反转）。这个事实可以这样简单的推出：一根悬绳的曲线所满足的数学要求是每个质点所受到的三个力——即左侧和右侧的拉力以及自身的重力——必须刚好平衡。而这样的一个拱要想保持稳定，所需要满足的数学要求则是每一小段所受到的三个力——即左侧和右侧的推力以及自身的重力——必须刚好平衡。容易看出，这两种关系正好相差一个正负号，所以把悬链线翻过来就是拱的曲线。悬链线早在文艺复兴时代之前就吸引了数学家的注意，伽利略曾经错误地以为悬链线就是抛物线（看起来确实很像），莱布尼茨、惠 ...继续阅读 (9)

都是从我最近参加的 workshop 上的闲谈中听说的：1. 人们尽管在十九世纪就知道了 π 和 e 是超越数，但是直到今天，人们不但不知道 π+e 是不是超越数，甚至连它是不是无理数都不知道。（这最后一点是令我惊奇的。）2. 希尔伯特曾经说过：我们也许过几年就能得到一个黎曼猜想的证明，也许再过几十年就能证明费马大定理，但是我们也许再过一千年也不会知道 2 的 √2 次方是不是超越数。（最后这件事构成他的第七问题的一个特例。）结果，1934 年人们就证明了 2 的 √2 次方是超越数，上世纪末证明了费马大定理，而至今也没有证明黎曼猜想（并且暂时看不出任何希望）。 ...继续阅读 (38)

都是从我最近参加的 workshop 上的闲谈中听说的：1. 人们尽管在十九世纪就知道了 π 和 e 是超越数，但是直到今天，人们不但不知道 π+e 是不是超越数，甚至连它是不是无理数都不知道。（这最后一点是令我惊奇的。）2. 希尔伯特曾经说过：我们也许过几年就能得到一个黎曼猜想的证明，也许再过几十年就能证明费马大定理，但是我们也许再过一千年也不会知道 2 的 √2 次方是不是超越数。（最后这件事构成他的第七问题的一个特例。）结果，1934 年人们就证明了 2 的 √2 次方是超越数，上世纪末证明了费马大定理，而至今也没有证明黎曼猜想（并且暂时看不出任何希望）。 ...继续阅读 (13)

以下这些漂亮的可视化对象均来自 UC Irvine 的数学教授Richard S. Palais所建立的数学网站Virtual Math Museum。下图是他和艺术家 Luc Benard 合作的作品，获得了 2006 年美国自然科学基金会和《科学》杂志合办的科学图像竞赛第一名。后面是一些可以用鼠标拖动的 3D 模型（需要安装 Java）。 ...继续阅读 (33)

以下这些漂亮的可视化对象均来自 UC Irvine 的数学教授Richard S. Palais所建立的数学网站Virtual Math Museum。下图是他和艺术家 Luc Benard 合作的作品，获得了 2006 年美国自然科学基金会和《科学》杂志合办的科学图像竞赛第一名。后面是一些可以用鼠标拖动的 3D 模型（需要安装 Java）。 ...继续阅读 (14)

到二十世纪末，人们对「信号」这个词的理解已经发生了微妙的变化。如果在二十世纪上半叶的时候提到一个信号，人们还倾向于将它理解为一个连续的函数。而到下半叶，信号已经越来越多地对应于一个离散的数组。毫无疑问，这是电子计算机革命的后果。在这样的情形下，「不确定性原理」也有了新的形式。在连续情形下，我们可以讨论一个信号是否集中在某个区域内。而在离散情形下，重要的问题变成了信号是否集中在某些离散的位置上，而在其余位置上是零。数学家给出了这样有趣的定理：一个长度为 N 的离散信号中有 a 个非零数值，而它的傅立叶变换中有 b 个非零数值，那么 a+b ≥ 2√N。也就是说一个信号和它的傅立叶变换中的非零元素不能都太少。毫无疑问，这也是某种新形式的「不确定性原理」。在上面的定理中，如果已知 N 是素数，那么我们甚至还有强得多的结论（它是 N. Chebotarev 在 1926 年证明的一个定理的自然推论）：一个长度为素数 N 的离散信号中有 a 个非零数值，而它的傅立叶变换中有 b 个非零数值，那么 a+b > N。不幸的是这里「素数」的条件是必须的。对于非素数来说，第二条命题很容易找到反例，这时第一条命题已经是能够达到的最好结果了。这些定理有什么用呢？如果它仅仅是能用来说明某些事情做不到，就像它字面意思所反映出的那样，那它的用处当然相对有限。可是——这无疑是辩证法的一个好例证——这样一系列宣称 ...继续阅读 (34)

到二十世纪末，人们对「信号」这个词的理解已经发生了微妙的变化。如果在二十世纪上半叶的时候提到一个信号，人们还倾向于将它理解为一个连续的函数。而到下半叶，信号已经越来越多地对应于一个离散的数组。毫无疑问，这是电子计算机革命的后果。在这样的情形下，「不确定性原理」也有了新的形式。在连续情形下，我们可以讨论一个信号是否集中在某个区域内。而在离散情形下，重要的问题变成了信号是否集中在某些离散的位置上，而在其余位置上是零。数学家给出了这样有趣的定理：一个长度为 N 的离散信号中有 a 个非零数值，而它的傅立叶变换中有 b 个非零数值，那么 a+b ≥ 2√N。也就是说一个信号和它的傅立叶变换中的非零元素不能都太少。毫无疑问，这也是某种新形式的「不确定性原理」。在上面的定理中，如果已知 N 是素数，那么我们甚至还有强得多的结论（它是 N. Chebotarev 在 1926 年证明的一个定理的自然推论）：一个长度为素数 N 的离散信号中有 a 个非零数值，而它的傅立叶变换中有 b 个非零数值，那么 a+b > N。不幸的是这里「素数」的条件是必须的。对于非素数来说，第二条命题很容易找到反例，这时第一条命题已经是能够达到的最好结果了。这些定理有什么用呢？如果它仅仅是能用来说明某些事情做不到，就像它字面意思所反映出的那样，那它的用处当然相对有限。可是——这无疑是辩证法的一个好例证——这样一系列宣称 ...继续阅读 (11)

不确定性原理事实上不是一个单独的定理，而是一组定理的统称。基本上，凡是刻划一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中的命题都可以称为不确定性原理，由于这里「集中」这一性质可以有不同的数学描述，也就对应着不同的数学定理。但是在所有冠以「不确定性原理」之名的定理中，最著名的当然是海森堡 (W. Heisenberg) 在 1927 年所提出的影响物理学发展至深的那个版本。它精确的数学描述是：假定一个信号的总能量为 1，则这个信号和它的傅立叶变换的能量的方差之积不小于换言之，两者各自的能量都可能很集中，但是不能同时很集中。如果时空域中能量的方差很小（亦即集中在一起），那么频域上能量的方差就不会太小（亦即必然会弥散开），反之亦然。对这个定理在量子物理中的意义的详细讨论超出了本文的话题范围，坊间相关的著作已有不少。不过，下面简单胪列了一些相关的历史事实：海森堡在 1927 年的那篇文章标题为 Ueber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik（《量子理论运动学和力学的直观内容》）。这篇文章很大程度上是对薛定谔 (E. Schrödinger) 在 1926 年所提出的薛定谔波动方程的回应。相较于海森堡的矩阵力学而言，薛定谔的方程很快由于它物理上的直观明晰而吸引了越来越多物理学家的赞赏。海森 ...继续阅读 (29)

傅立叶变换这种对偶关系的本质，是把一块信息用彻底打乱的方式重新叙述一遍。正如前面所提到的那样，一个信号可能在空域上显得内容丰富，但是当它在频域上被重新表达出来的时候，往往就在大多数区域接近于零。反过来这个关系也是对称的：一个空域上大多数区域接近于零的信号，在频域上通常都会占据绝大多数频率。有没有一种信号在空域和频域上的分布都很广泛呢？有的，最简单的例子就是噪声信号。一段纯粹的白噪声，其傅立叶变换也仍然是噪声，所以它在空域和频域上的分布都是广泛的。如果用信号处理的语言来说，这就说明「噪声本身是不可压缩的」。这并不违反直觉，因为信号压缩的本质就是通过挖掘信息的结构和规律来对它进行更简洁的描述，而噪声，顾名思义，就是没有结构和规律的信号，自然也就无从得以压缩。另一方面，有没有一种信号在空域和频域上的分布都很简单呢？换句话说，存不存在一个函数，它在空间上只分布在很少的几个区域内，并且在频域上也只占用了很少的几个频率呢？（零函数当然满足这个条件，所以下面讨论的都是非零函数。）答案是不存在。这就是所谓的 uncertainty principle（不确定性原理）。这一事实有极为重要的内涵，但是其重要性并不容易被立刻注意到。它甚至都不是很直观：大自然一定要限制一个信号在空间分布和频率分布上都不能都集中在一起，看起来并没有什么道理啊。这个原理可以被尽量直观地解释如下：所谓的频率，本质上反应的是一种 ...继续阅读 (30)