经济学上有个著名的悖论：Braess 悖论，是一个数学家 Braess 提出来的。他构造了一个精辟的例子指出，你给一个交通网络上增加一条路（并且保持别的路不变），有可能反而会使得整个路网的交通效率下降。这个巧妙的例子是这样设计的。从起点到终点有两条路，一条经过A，一条经过B。从起点到A是小路，通行时间和车流量成正比，等于车流量T除以带宽100。从起点到B是大路，固定要耗费45分钟。从A或B到终点也一样，只是顺序刚好反过来。假定每天有4000辆车要从起点去终点。因为两条路本质上是一样的，很自然两条路就会各有2000辆车。最后每辆车花的时间都等于 2000/100+45=65分钟。现在你在A和B之间修一个虫洞，带宽无限，耗时为0。会发生什么事呢？听起来这是净利好。这时候起点的所有车，不管本来是要走A 还是B，都会选择走到A，因为即使所有人都挤在上面那条路，到A也最多需要4000/100=40分钟，然后从A到B需要0分钟，这还是比从起点直接去B要快。那直接走B无论如何都显得很蠢。然后等所有车到了A点之后，又因为同样的原因都会选择先走到B再去终点，因为这样最多也只需要40分钟，还是比直接走到终点快。但这样一来，最后所有车都花了4000/100+4000/100=80分钟。所有人都慢了15分钟。为什么？在这个例子里，多出来的这条路有可能会因为显得局部优势，从而诱导更多的司机选择这条他们本来未 ...继续阅读 (3)

有趣的是，人类对人工智能发展速度的预期，常常既极端低估，又极端高估。在 AlphaGo 挑战李世乭之前，大多数人本能地拒绝相信人工智能可以达到这样的高度，认为围棋中某些普遍被认为是属于人类的强项，例如大局观、直觉、平衡感、洞察力，是人工智能不可逾越的高峰。甚至有些人在看到对局结果之后，还是固执坚信人工智能只是以暴力和统计学堆叠出胜利，并没有真正展现出人类大脑特有的能力。但另一方面，很多人又在一夜之间开始担忧人工智能统治人类的未来，似乎人工智能从学会下围棋到征服世界，只有一步之遥。而事实是，人工智能早就开始在许多关于直觉和美的领域里展现出创造性。三十年前，Harold Cohen 已经开始能够让电脑自动画出人们误以为来自人类画家的画作。二十年前，David Cope 编写的程序写出的肖邦风格的马祖卡舞曲已经传神到即使音乐专业的听众也难辨真伪。归根结底，人的大脑在功能性的层面上只是一架精密的机器而已。既然是机器，就有被数值计算模拟和逼近的可能性。AlphaGo 所展现出的围棋开局时良好的「棋感」，再好不过地说明了所谓的直觉并非无法量化，只是无法被我们自己量化而已。但这是人类的失败么？从茹毛饮血的穴居时代到游弋太阳系的今天，人类的进步从来就不体现为本身生物能力的优越，而体现于不断创造出工具成为自我的延伸。我们制作出的机器跑得更快，飞得更高，算得更准，想得更深。但是归根结底，定义人性的并不 ...继续阅读 (11)

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上个周末去了一趟密苏里州的 St. Louis。这里一百年前还是美国的第四大都市，拜得天独厚的地理条件所赐，是整个美国的水陆交通枢纽。一百年后，这里已经变成了一个乡下小城。它最著名的地标建筑当然是上世纪六十年代建成的 Gateway Arch，是为纪念美国的西部大开发而树立的一座纪念碑，高 192 米，是至今为止全美最高的纪念碑。（下图转载自wiki。）直到到了现场我才意识到它真的非常高，高到看起来有点不自然的程度。而另一个让我到了现场才意识到的问题是，作为这么高的一个拱，要稳定地树立在那里，它的形状不可能是任意弯成的。事实上，它的曲线是在数学上被唯一确定的。我不知道这个事实在建筑从业者中是不是尽人皆知，但是我自己至少此前从来没有想到过。确切来说，它的曲线一定是悬链线，也就是一根绳子固定两头后自然下垂得到的曲线（当然要经过一个上下反转）。这个事实可以这样简单的推出：一根悬绳的曲线所满足的数学要求是每个质点所受到的三个力——即左侧和右侧的拉力以及自身的重力——必须刚好平衡。而这样的一个拱要想保持稳定，所需要满足的数学要求则是每一小段所受到的三个力——即左侧和右侧的推力以及自身的重力——必须刚好平衡。容易看出，这两种关系正好相差一个正负号，所以把悬链线翻过来就是拱的曲线。悬链线早在文艺复兴时代之前就吸引了数学家的注意，伽利略曾经错误地以为悬链线就是抛物线（看起来确实很像），莱布尼茨、惠 ...继续阅读 (35)

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傅立叶变换这种对偶关系的本质，是把一块信息用彻底打乱的方式重新叙述一遍。正如前面所提到的那样，一个信号可能在空域上显得内容丰富，但是当它在频域上被重新表达出来的时候，往往就在大多数区域接近于零。反过来这个关系也是对称的：一个空域上大多数区域接近于零的信号，在频域上通常都会占据绝大多数频率。有没有一种信号在空域和频域上的分布都很广泛呢？有的，最简单的例子就是噪声信号。一段纯粹的白噪声，其傅立叶变换也仍然是噪声，所以它在空域和频域上的分布都是广泛的。如果用信号处理的语言来说，这就说明「噪声本身是不可压缩的」。这并不违反直觉，因为信号压缩的本质就是通过挖掘信息的结构和规律来对它进行更简洁的描述，而噪声，顾名思义，就是没有结构和规律的信号，自然也就无从得以压缩。另一方面，有没有一种信号在空域和频域上的分布都很简单呢？换句话说，存不存在一个函数，它在空间上只分布在很少的几个区域内，并且在频域上也只占用了很少的几个频率呢？（零函数当然满足这个条件，所以下面讨论的都是非零函数。）答案是不存在。这就是所谓的 uncertainty principle（不确定性原理）。这一事实有极为重要的内涵，但是其重要性并不容易被立刻注意到。它甚至都不是很直观：大自然一定要限制一个信号在空间分布和频率分布上都不能都集中在一起，看起来并没有什么道理啊。这个原理可以被尽量直观地解释如下：所谓的频率，本质上反应的是一种 ...继续阅读 (31)