今年我为北京世纪坛的数学益智游戏展贡献了不少内容。我打算在这里记录一些自己的创作、发现、收获和心得。这是该系列的第三篇。今年的数学益智游戏展有一个特色，就是到访者可以购买一个小册子，这可以为自己的参展体验加分。我们内部把它叫作“任务单”。任务单里有很多任务，对应了展会中的各种项目。完成任务可以获得印章，赢取奖励。为了增加任务单的附加价值，任务单上还附赠了很多简单展品的高级玩法说明。这里举一个有趣的例子。展会现场有很多冰糕棍，可以用来做冰糕棍炸弹。任务单上给出了冰糕棍的另一种玩法——Nim 游戏。将冰糕棍从左到右摆成若干堆。两人轮流从其中一堆冰糕棍中取走任意数量的冰糕棍（可以全部取走，但不能不取）。取走最后一根冰糕棍的玩家获胜。考虑到任务单的读者可能已经熟悉 Nim 游戏了，因此为了让所有人都能有新的收获，我补充了一些不太常见的 Nim 游戏变种。我一共准备了 10 条补充规则。游戏开始前，双方可以任选其中一条来玩。每次只能从最左端或者最右端的那一堆中取冰糕棍。每次只能从冰糕棍数最多的那一堆中取冰糕棍（如果冰糕棍数最多的堆出现了并列的情况，任选其中一堆即可）。每次只能从冰糕棍数最少的那一堆中取冰糕棍（如果冰糕棍数最少的堆出现了并列的情况，任选其中一堆即可）。第一个人可以从任意一堆中取冰糕棍，今后每个人只能从和刚才不同的堆中取冰糕棍。第一个人可以从任意一堆中取冰糕棍，今后每个人只能从和 ...继续阅读 (7)

今年我为北京世纪坛的数学益智游戏展贡献了不少内容。我打算在这里记录一些自己的创作、发现、收获和心得。这是该系列的第三篇。今年的数学益智游戏展有一个特色，就是到访者可以购买一个小册子，这可以为自己的参展体验加分。我们内部把它叫作“任务单”。任务单里有很多任务，对应了展会中的各种项目。完成任务可以获得印章，赢取奖励。为了增加任务单的附加价值，任务单上还附赠了很多简单展品的高级玩法说明。这里举一个有趣的例子。展会现场有很多冰糕棍，可以用来做冰糕棍炸弹。任务单上给出了冰糕棍的另一种玩法——Nim 游戏。将冰糕棍从左到右摆成若干堆。两人轮流从其中一堆冰糕棍中取走任意数量的冰糕棍（可以全部取走，但不能不取）。取走最后一根冰糕棍的玩家获胜。考虑到任务单的读者可能已经熟悉 Nim 游戏了，因此为了让所有人都能有新的收获，我补充了一些不太常见的 Nim 游戏变种。我一共准备了 10 条补充规则。游戏开始前，双方可以任选其中一条来玩。每次只能从最左端或者最右端的那一堆中取冰糕棍。每次只能从冰糕棍数最多的那一堆中取冰糕棍（如果冰糕棍数最多的堆出现了并列的情况，任选其中一堆即可）。每次只能从冰糕棍数最少的那一堆中取冰糕棍（如果冰糕棍数最少的堆出现了并列的情况，任选其中一堆即可）。第一个人可以从任意一堆中取冰糕棍，今后每个人只能从和刚才不同的堆中取冰糕棍。第一个人可以从任意一堆中取冰糕棍，今后每个人只能从和 ...继续阅读

今年我为北京世纪坛的数学益智游戏展贡献了不少内容。我打算在这里记录一些自己的创作、发现、收获和心得。顺便结合一下这几年的经历。这是该系列的第二篇。两个孩子经常早晨 6 点就醒了，然后频频闯进我们卧室，给我们看他们用纸折的袜子，用乐高搭的袋熊，用水彩笔画的比萨，搞得我和孩子他妈没法睡觉。去年 5 月份左右，孩子他妈想了一个办法：在我们卧室门口放了一个纸糊的小信箱，让孩子把要给我们看的东西放信箱里。现在早晨果然能多睡一会儿了。几天后，孩子闹着说，他们想让自己的屋子门口也有个信箱。孩子他妈真又做了一个弄上去了。在信箱里放啥呢？于是我决定每天给孩子设计一些印在纸上的小活动，比如照图示折纸呀，比如看图编对话呀，比如自制两可图呀，等等。当然，还有很多我专门设计的谜题。究竟怎样的谜题才算好的谜题，这话题就太大了。不过今天我想分享一些给孩子设计谜题时我喜欢注意的三点：找到答案会自动带来奖励。孩子会因为成就感和外部奖励以外的原因进行解谜。答案具备自我检查机制。即使孩子把答案做错了，他自己也能意识到。解谜流程是非线性的。解谜的线索往往有冗余。解谜过程可以是多线并行的，不会因为卡在某一步而死掉。学校考试里的多数单选题不满足任何一条。利用电子游戏这个媒介，这几条很容易全都实现。解开谜题后可以解锁新的内容，这就实现了第 1 条。电脑可以自动判断答案的正误，这就实现了第 2 条。第 3 条也很容易做到。比如， ...继续阅读 (4)

今年我为北京世纪坛的数学益智游戏展贡献了不少内容。我打算在这里记录一些自己的创作、发现、收获和心得。顺便结合一下这几年的经历。这是该系列的第二篇。两个孩子经常早晨 6 点就醒了，然后频频闯进我们卧室，给我们看他们用纸折的袜子，用乐高搭的袋熊，用水彩笔画的比萨，搞得我和孩子他妈没法睡觉。去年 5 月份左右，孩子他妈想了一个办法：在我们卧室门口放了一个纸糊的小信箱，让孩子把要给我们看的东西放信箱里。现在早晨果然能多睡一会儿了。几天后，孩子闹着说，他们想让自己的屋子门口也有个信箱。孩子他妈真又做了一个弄上去了。在信箱里放啥呢？于是我决定每天给孩子设计一些印在纸上的小活动，比如照图示折纸呀，比如看图编对话呀，比如自制两可图呀，等等。当然，还有很多我专门设计的谜题。究竟怎样的谜题才算好的谜题，这话题就太大了。不过今天我想分享一些给孩子设计谜题时我喜欢注意的三点：找到答案会自动带来奖励。孩子会因为成就感和外部奖励以外的原因进行解谜。答案具备自我检查机制。即使孩子把答案做错了，他自己也能意识到。解谜流程是非线性的。解谜的线索往往有冗余。解谜过程可以是多线并行的，不会因为卡在某一步而死掉。学校考试里的多数单选题不满足任何一条。利用电子游戏这个媒介，这几条很容易全都实现。解开谜题后可以解锁新的内容，这就实现了第 1 条。电脑可以自动判断答案的正误，这就实现了第 2 条。第 3 条也很容易做到。比如， ...继续阅读

今年我为北京世纪坛的数学益智游戏展贡献了不少内容。我打算在这里记录一些自己的创作、发现、收获和心得。顺便结合一下这几年的经历。这是该系列的第一篇。有一个经典的数学小魔术。把 0 到 63 之间的数写在 6 张纸条上，其中第 1 张纸条上写着二进制表达中右起第 1 位数字为 1 的数，第 2 张纸条上写着二进制表达中右起第 2 位数字为 1 的数，第 3 张纸条上写着二进制表达中右起第 3 位数字为 1 的数，等等。给人展示 6 张纸条，问他“你的年龄出现在了哪些纸条里”。对方给出的答案就相当于告诉了你，他的年龄的二进制表达中各个地方是 0 还是 1。你就能报出他的年龄了。今年的展会有一个主题就是过年。我们打算设计一个类似的小魔术，只不过把年龄改成生肖。由于生肖有 12 个，因此 4 张纸条就可以做到这一点。为了让魔术能自动呈现出来，不需要工作人员表演，我们想到一个方法。把 4 张纸条换成 4 对带孔的板子，不妨把这些板子记作 1A、1B、2A、2B、3A、3B、4A、4B。墙上印有和板子一样大的海报。海报上印有十二生肖，排成一个 3 × 4 的方阵。我们事先给每个生肖分配了一个 0000 到 1111 之间的编号（所以 16 个编号只用到 12 个）。分配的时候顺序故意是乱的，这样板子上的孔更没规律，魔术效果更好。板子 1A 上印着右起第 1 位是 0 的生肖，并且这些生肖对应的位 ...继续阅读 (16)

今年我为北京世纪坛的数学益智游戏展贡献了不少内容。我打算在这里记录一些自己的创作、发现、收获和心得。顺便结合一下这几年的经历。这是该系列的第一篇。有一个经典的数学小魔术。把 0 到 63 之间的数写在 6 张纸条上，其中第 1 张纸条上写着二进制表达中右起第 1 位数字为 1 的数，第 2 张纸条上写着二进制表达中右起第 2 位数字为 1 的数，第 3 张纸条上写着二进制表达中右起第 3 位数字为 1 的数，等等。给人展示 6 张纸条，问他“你的年龄出现在了哪些纸条里”。对方给出的答案就相当于告诉了你，他的年龄的二进制表达中各个地方是 0 还是 1。你就能报出他的年龄了。今年的展会有一个主题就是过年。我们打算设计一个类似的小魔术，只不过把年龄改成生肖。由于生肖有 12 个，因此 4 张纸条就可以做到这一点。为了让魔术能自动呈现出来，不需要工作人员表演，我们想到一个方法。把 4 张纸条换成 4 对带孔的板子，不妨把这些板子记作 1A、1B、2A、2B、3A、3B、4A、4B。墙上印有和板子一样大的海报。海报上印有十二生肖，排成一个 3 × 4 的方阵。我们事先给每个生肖分配了一个 0000 到 1111 之间的编号（所以 16 个编号只用到 12 个）。分配的时候顺序故意是乱的，这样板子上的孔更没规律，魔术效果更好。板子 1A 上印着右起第 1 位是 0 的生肖，并且这些生肖对应的位 ...继续阅读

昨晚做梦，梦见了一个有趣的数学问题：有没有什么多面体，它的每个面都是凹多边形？有趣的是，接下来我梦见自己醒了过来，然后立即上网寻找答案。我梦见我查到了相关的论文，论文作者的名字中出现了很多奇怪的符号。我梦见我开始研究论文作者的名字该怎么发音。我梦见我研究了半天没有进展，于是踏上了拜访作者本人的路……然后就彻底醒了。然后立即上网寻找答案。废话不多说了。Branko Grünbaum 和 G. C. Shephard 在 1998 年的论文《Isohedra with Nonconvex Faces》中给出了一些例子。下图是我很喜欢的一个例子。整个多面体由12个全等的凹多边形组成。​ ...继续阅读 (8)

昨晚做梦，梦见了一个有趣的数学问题：有没有什么多面体，它的每个面都是凹多边形？有趣的是，接下来我梦见自己醒了过来，然后立即上网寻找答案。我梦见我查到了相关的论文，论文作者的名字中出现了很多奇怪的符号。我梦见我开始研究论文作者的名字该怎么发音。我梦见我研究了半天没有进展，于是踏上了拜访作者本人的路……然后就彻底醒了。然后立即上网寻找答案。废话不多说了。Branko Grünbaum 和 G. C. Shephard 在 1998 年的论文《Isohedra with Nonconvex Faces》中给出了一些例子。下图是我很喜欢的一个例子。整个多面体由12个全等的凹多边形组成。​ ...继续阅读

2006 年，我在博客（当时还是 MSN Space）上发了《什么是 P 问题、NP 问题和 NPC 问题》一文。这是我高二搞信息学竞赛时随手写的一些东西，是我的博客中最早的文章之一。今天偶然发现，这篇现在看了恨不得重写一遍的“科普”竟仍然有比较大的阅读量。时间过得很快。《星际争霸》（StarCraft）出了续作，德国队 7 比 1 大胜东道主巴西，《学徒》（The Apprentice）里的那个家伙当了总统，非典之后竟然出了更大的疫情。现在已经是 2022 年了。这 16 年的时间里，我读了大学，出了书，娶了老婆，养了娃。如果现在的我写一篇同样话题的科普文章，我会写成什么样呢？正好，我的新书《神机妙算：一本关于算法的闲书》中有一些相关的内容。我从书里的不同章节中摘选了一些片段，整理加工了一下，弄出了下面这篇文章，或许能回答刚才的问题吧。有一天，我和老婆去超市大采购。和往常一样，结完账之后，我们需要小心谨慎地规划把东西放进购物袋的顺序，防止东西被压坏。这并不是一件容易的事情，尤其是考虑到各个物体自身的重量和它能承受的重量之间并无必然联系。鸡蛋、牛奶非常重，但同时也很怕压；毛巾、卫生纸都很轻，但却能承受很大的压力。于是，我突然想到了这么一个问题：给定 n 个物体各自的重量和它能承受的最大重量，判断出能否把它们叠成一摞，使得所有的物体都不会被压坏（一个物体不会被压坏的意思就是，它上面的 ...继续阅读 (6)

2006 年，我在博客（当时还是 MSN Space）上发了《什么是 P 问题、NP 问题和 NPC 问题》一文。这是我高二搞信息学竞赛时随手写的一些东西，是我的博客中最早的文章之一。今天偶然发现，这篇现在看了恨不得重写一遍的“科普”竟仍然有比较大的阅读量。时间过得很快。《星际争霸》（StarCraft）出了续作，德国队 7 比 1 大胜东道主巴西，《学徒》（The Apprentice）里的那个家伙当了总统，非典之后竟然出了更大的疫情。现在已经是 2022 年了。这 16 年的时间里，我读了大学，出了书，娶了老婆，养了娃。如果现在的我写一篇同样话题的科普文章，我会写成什么样呢？正好，我的新书《神机妙算：一本关于算法的闲书》中有一些相关的内容。我从书里的不同章节中摘选了一些片段，整理加工了一下，弄出了下面这篇文章，或许能回答刚才的问题吧。有一天，我和老婆去超市大采购。和往常一样，结完账之后，我们需要小心谨慎地规划把东西放进购物袋的顺序，防止东西被压坏。这并不是一件容易的事情，尤其是考虑到各个物体自身的重量和它能承受的重量之间并无必然联系。鸡蛋、牛奶非常重，但同时也很怕压；毛巾、卫生纸都很轻，但却能承受很大的压力。于是，我突然想到了这么一个问题：给定 n 个物体各自的重量和它能承受的最大重量，判断出能否把它们叠成一摞，使得所有的物体都不会被压坏（一个物体不会被压坏的意思就是，它上面的 ...继续阅读

环面多面体，即亏格为 1 的多面体，直观地说就是有 1 个洞的多面体。下图中三个多面体里分别有 0 个洞、1 个洞和 2 个洞。第二个多面体就是环面多面体。最近，我在研究一些和环面多面体相关的话题，在这里和大家分享一些我的发现。​由正多边形构成的环面多面体正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体、侧面均为正方形的正棱柱、侧面均为等边三角形的正棱锥、足球或者 C60所对应的多面体等等，都是由正多边形构成的多面体。有没有什么环面多面体也是由正多边形构成的呢？一个容易想到的做法就是，把 8 个正方体摆成一个“口”字形。这样做是不行的。正方体拼接起来后，原来的很多面会因为共面的原因合成了更大的面。站在整个多面体的角度来讲，它的各个面就不再是正多边形了。​然而，如果我们用下面这样的方法把正方体拼接起来，就漂亮地绕开了这个问题。​做完上面这个图之后，我才发现这个图是有毛病的。作为一个完美主义者，我又重新做了一个正确的图，如下图所示。你能看出这两个图的区别吗？​答案是，前一个图里，相邻小正方体的公共面，即那些贴合在一起的面，仍然留在了图中；作为一个真正的多面体，它的内部是不该有这些面的。所以，我才做了后面这个图。它里面就是空的了。利用拼接的方法，还能做出更多满足要求的环面多面体。例如，将 6 个正六棱柱（侧面均为正方形）按照下图的方式拼成一圈，也形成了一个满足要求的图形。​你可以利用 ...继续阅读 (9)

环面多面体，即亏格为 1 的多面体，直观地说就是有 1 个洞的多面体。下图中三个多面体里分别有 0 个洞、1 个洞和 2 个洞。第二个多面体就是环面多面体。最近，我在研究一些和环面多面体相关的话题，在这里和大家分享一些我的发现。​由正多边形构成的环面多面体正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体、侧面均为正方形的正棱柱、侧面均为等边三角形的正棱锥、足球或者 C60所对应的多面体等等，都是由正多边形构成的多面体。有没有什么环面多面体也是由正多边形构成的呢？一个容易想到的做法就是，把 8 个正方体摆成一个“口”字形。这样做是不行的。正方体拼接起来后，原来的很多面会因为共面的原因合成了更大的面。站在整个多面体的角度来讲，它的各个面就不再是正多边形了。​然而，如果我们用下面这样的方法把正方体拼接起来，就漂亮地绕开了这个问题。​做完上面这个图之后，我才发现这个图是有毛病的。作为一个完美主义者，我又重新做了一个正确的图，如下图所示。你能看出这两个图的区别吗？​答案是，前一个图里，相邻小正方体的公共面，即那些贴合在一起的面，仍然留在了图中；作为一个真正的多面体，它的内部是不该有这些面的。所以，我才做了后面这个图。它里面就是空的了。利用拼接的方法，还能做出更多满足要求的环面多面体。例如，将 6 个正六棱柱（侧面均为正方形）按照下图的方式拼成一圈，也形成了一个满足要求的图形。​你可以利用 ...继续阅读

我正在餐桌前吃早餐。餐桌上有一张圆形的大饼，有一个方形的蛋糕，还有一个甜甜圈。我依次思考了下面三个问题。你能帮我想出它们的答案吗？3 刀切一张圆形的大饼，最多能把它分成多少块？或者说，3 条直线最多能把一个圆盘分成多少个区域？4 刀切一个方形的蛋糕，最多能把它分成多少块？或者说，4 个平面最多能把一个正方体分成多少个区域？3 刀切一个甜甜圈，最多能把它分成多少块？或者说，3 个平面最多能把一个（实心的）环面分成多少个区域？提示：上一个问题的答案总会为下一个问题提供线索。3 刀切一张圆形的大饼，最多能把它分成多少块？或者说，3 条直线最多能把一个圆形分成多少个区域？​这是一个经典的小学问题。答案是 7 块。如图所示，事实上，当直线数分别为 1, 2, 3, 4, 5, …时，最多产生的区域数对应地是 2, 4, 7, 11, 16, …。这背后的规律是：1 条直线能把圆盘分成 2 个区域；第 2, 3, 4, 5, …条直线，则会让区域数增加 2, 3, 4, 5, …个。1 条直线最多能把圆盘分成 2 个区域，这事儿很显然。为什么第 n 条直线会让区域数增加 n 呢？这背后有一个非常简单的解释。前 n − 1 条直线会与第 n 条直线产生最多 n − 1 个交点，把第 n 条直线切成最多 n 段。仔细想想第 n 条直线上的每一段意味着什么——意味着某一个原有区域被细分成了两个新的区 ...继续阅读 (5)

我正在餐桌前吃早餐。餐桌上有一张圆形的大饼，有一个方形的蛋糕，还有一个甜甜圈。我依次思考了下面三个问题。你能帮我想出它们的答案吗？3 刀切一张圆形的大饼，最多能把它分成多少块？或者说，3 条直线最多能把一个圆盘分成多少个区域？4 刀切一个方形的蛋糕，最多能把它分成多少块？或者说，4 个平面最多能把一个正方体分成多少个区域？3 刀切一个甜甜圈，最多能把它分成多少块？或者说，3 个平面最多能把一个（实心的）环面分成多少个区域？提示：上一个问题的答案总会为下一个问题提供线索。3 刀切一张圆形的大饼，最多能把它分成多少块？或者说，3 条直线最多能把一个圆形分成多少个区域？​这是一个经典的小学问题。答案是 7 块。如图所示，事实上，当直线数分别为 1, 2, 3, 4, 5, …时，最多产生的区域数对应地是 2, 4, 7, 11, 16, …。这背后的规律是：1 条直线能把圆盘分成 2 个区域；第 2, 3, 4, 5, …条直线，则会让区域数增加 2, 3, 4, 5, …个。1 条直线最多能把圆盘分成 2 个区域，这事儿很显然。为什么第 n 条直线会让区域数增加 n 呢？这背后有一个非常简单的解释。前 n − 1 条直线会与第 n 条直线产生最多 n − 1 个交点，把第 n 条直线切成最多 n 段。仔细想想第 n 条直线上的每一段意味着什么——意味着某一个原有区域被细分成了两个新的区 ...继续阅读

大家应该听说过 9 枚硬币的问题吧。9 枚硬币当中有 8 枚是真币，有 1 枚是假币。所有的真币重量都相同，假币的重量则稍重一些。怎样利用一架天平两次就找出哪一枚硬币是假币？方法是，先把 9 枚硬币分成三组，每组各 3 枚硬币。然后，把第一组放在天平左边，把第二组放在天平右边。如果天平向左倾斜，说明假币在第一组里；如果天平向右倾斜，说明假币在第二组里；如果天平平衡，说明假币在剩下的第三组里。现在，假币的嫌疑范围就被缩小到 3 枚硬币之中了。选择其中 2 枚硬币分放在天平左右两侧。类似地，如果天平左倾，就说明左边那枚硬币是假的；如果天平右倾，就说明右边那枚硬币是假的；如果天平平衡，就说明没放上去的那枚硬币是假的。9 硬币问题实在是太经典了，你甚至能在人教版小学五年级下册的课本里看到它。9 硬币问题还衍生出了很多变形，其中最著名的当属 12 硬币问题了：有 12 枚硬币，其中一枚是假币，但我们不知道假币是更重一些还是更轻一些；请利用一架天平三次找出哪一枚硬币是假币，并判断出它比真币更重还是更轻。12 硬币问题的经典程度恐怕不亚于 9 硬币问题。早在 20 世纪 40 年代，12 硬币问题就已经吸引了一大批数学家和数学爱好者，甚至有人建议把这个问题扔到德国去，以削弱德国人在二战中的战斗力。如果你想知道答案，可以在网上找找，应该很容易找到。我们今天就不讨论了。今天，我们真正想聊的其实是这个 ...继续阅读 (8)

大家应该听说过 9 枚硬币的问题吧。9 枚硬币当中有 8 枚是真币，有 1 枚是假币。所有的真币重量都相同，假币的重量则稍重一些。怎样利用一架天平两次就找出哪一枚硬币是假币？方法是，先把 9 枚硬币分成三组，每组各 3 枚硬币。然后，把第一组放在天平左边，把第二组放在天平右边。如果天平向左倾斜，说明假币在第一组里；如果天平向右倾斜，说明假币在第二组里；如果天平平衡，说明假币在剩下的第三组里。现在，假币的嫌疑范围就被缩小到 3 枚硬币之中了。选择其中 2 枚硬币分放在天平左右两侧。类似地，如果天平左倾，就说明左边那枚硬币是假的；如果天平右倾，就说明右边那枚硬币是假的；如果天平平衡，就说明没放上去的那枚硬币是假的。9 硬币问题实在是太经典了，你甚至能在人教版小学五年级下册的课本里看到它。9 硬币问题还衍生出了很多变形，其中最著名的当属 12 硬币问题了：有 12 枚硬币，其中一枚是假币，但我们不知道假币是更重一些还是更轻一些；请利用一架天平三次找出哪一枚硬币是假币，并判断出它比真币更重还是更轻。12 硬币问题的经典程度恐怕不亚于 9 硬币问题。早在 20 世纪 40 年代，12 硬币问题就已经吸引了一大批数学家和数学爱好者，甚至有人建议把这个问题扔到德国去，以削弱德国人在二战中的战斗力。如果你想知道答案，可以在网上找找，应该很容易找到。我们今天就不讨论了。今天，我们真正想聊的其实是这个 ...继续阅读

下面这个趣题出自Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 10 月的题目：能否把一个凸四边形分成若干个凹四边形？答案是否定的。我们给出一个非常漂亮的证明。在下面的文字中，我们用“优角”一词来表示一个大于 180 度小于 360 度的角。假设某个凸四边形被分成了若干个凹四边形。容易看出，每个凹四边形的内角中都有且仅有一个优角（如果没有优角，它就不是凹四边形；如果有两个或更多的优角，就与四边形内角和为 360 度矛盾）。现在，让我们把每个凹四边形的那个优角顶点涂成蓝色。容易看出，每个蓝色顶点只能成为一个凹四边形的一个优角顶点（否则汇聚于该点处的角度之和会超过 360 度）。这意味着，每个蓝色顶点都唯一地对应一个凹四边形。如果图中的蓝色顶点一共有 n 个，那么凹四边形也一共有 n 个。我们用两种不同的方式来统计所有凹四边形的所有内角的度数之和。汇集在每个蓝色顶点的内角之和都是 360° ，汇集在原四边形四个顶点处的内角之和也是一个 360° ，所以我们已经有至少 n × 360° + 360° 了。考虑到其他没涂成蓝色的顶点处还有很多角，因此上面这个数目实际上还会更多。但是，我们一共有 n 个凹四边形，每个凹四边形的内角之和是 360° ，因此所有凹四边形的所有内角之和显然应该是 n × 360° 。这个矛盾说明，我们无法把一个凸四边形分成若干个凹四 ...继续阅读 (11)

下面这个趣题出自Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 10 月的题目：能否把一个凸四边形分成若干个凹四边形？答案是否定的。我们给出一个非常漂亮的证明。在下面的文字中，我们用“优角”一词来表示一个大于 180 度小于 360 度的角。假设某个凸四边形被分成了若干个凹四边形。容易看出，每个凹四边形的内角中都有且仅有一个优角（如果没有优角，它就不是凹四边形；如果有两个或更多的优角，就与四边形内角和为 360 度矛盾）。现在，让我们把每个凹四边形的那个优角顶点涂成蓝色。容易看出，每个蓝色顶点只能成为一个凹四边形的一个优角顶点（否则汇聚于该点处的角度之和会超过 360 度）。这意味着，每个蓝色顶点都唯一地对应一个凹四边形。如果图中的蓝色顶点一共有 n 个，那么凹四边形也一共有 n 个。我们用两种不同的方式来统计所有凹四边形的所有内角的度数之和。汇集在每个蓝色顶点的内角之和都是 360° ，汇集在原四边形四个顶点处的内角之和也是一个 360° ，所以我们已经有至少 n × 360° + 360° 了。考虑到其他没涂成蓝色的顶点处还有很多角，因此上面这个数目实际上还会更多。但是，我们一共有 n 个凹四边形，每个凹四边形的内角之和是 360° ，因此所有凹四边形的所有内角之和显然应该是 n × 360° 。这个矛盾说明，我们无法把一个凸四边形分成若干个凹四 ...继续阅读

随着常数 m 和 n 的变化，参数方程 x = sin(m · t), y = sin(n · t) 将会画出一系列漂亮的曲线。法国物理学家 Jules Antoine Lissajous 曾在 1857 年研究过这类曲线，因此人们把它叫做 Lissajous 曲线。我在reddit上看到了一个 Lissajous 曲线的动画演示，觉得看起来确实非常爽；但那个动画里没有解释曲线的生成方法，很多细节也有让人不太满意的地方，于是决定自己制作一个。这个视频展示的是 m = 13, n = 18 时的 Lissajous 曲线。 ...继续阅读 (6)

随着常数 m 和 n 的变化，参数方程 x = sin(m · t), y = sin(n · t) 将会画出一系列漂亮的曲线。法国物理学家 Jules Antoine Lissajous 曾在 1857 年研究过这类曲线，因此人们把它叫做 Lissajous 曲线。我在reddit上看到了一个 Lissajous 曲线的动画演示，觉得看起来确实非常爽；但那个动画里没有解释曲线的生成方法，很多细节也有让人不太满意的地方，于是决定自己制作一个。这个动画展示的是 m = 13, n = 18 时的 Lissajous 曲线。 ...继续阅读

2016 年 7 月 30 日至 8 月 7 日，第 39 届欧洲杂耍大会（European Juggling Convention）在荷兰的阿尔梅勒举行， 8 月 3 日凌晨的搏击之夜（Fight Night）自然再度成为了众人关注的焦点——它是杂耍斗（combat juggling）这项运动最大的赛事。在杂耍斗的圈子里，有两个响当当的大名你必须要知道：德国选手 Jochen Pfeiffer 目前世界排名第二，之前拿过 6 次搏击之夜的冠军；英国选手 Luke Burrage 目前世界排名第一，之前拿过 8 次搏击之夜的冠军。这一年的比赛中，两位老将均以完胜的成绩轻松进入 32 强，并在淘汰赛阶段过关斩将，最终成功在决赛场上相遇。最终，世界排名第二的 Jochen 以 5 比 4 的成绩击败了世界排名第一的 Luke ，夺得了又一个搏击之夜的冠军。杂耍斗是一种两人对战类的体育运动。比赛规则非常简单。每局比赛开始时，两名选手各自抛耍 3 个杂耍棒。任何一方都可以故意上前干扰另一方（但只能针对对方手中的或者空中的杂耍棒，不能针对对方的手臂和身体）。谁站到最后，谁就赢得该局。先赢 5 局者获得比赛的胜利。典型的一局比赛大致就像下面这样。这是 Jochen 和 Luke 的第 6 局比赛。Your browser does not support the video tag.这场决赛确 ...继续阅读 (3)

下面这个趣题出自Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 8 月的题目，稍有改动。屋子里有若干个人，任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。这有可能吗？有可能。比方说，屋子里有 9 个人，其中 8 个人正好组成 4 对朋友，第 9 个人则和前面 8 个人都是朋友。容易验证，任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。我们可以用下面这个图表示此时这 9 个人之间的朋友关系，其中每个点代表一个人，如果两个人是朋友，就在他们之间连一条线。除了上图展示的情况之外，我们还能构造出很多别的同样满足要求的情况。事实上，上述方案可以扩展到一切奇数个人的情况，比如下面这样：现在，假设屋子里有若干个人，任意两个人都有恰好2个共同的朋友。这有可能吗？有可能。比方说，屋子里有 4 个人，他们互相之间都是朋友。容易验证，任意两个人都有恰好 2 个共同的朋友。我们可以用下面这个图表示此时这 4 个人之间的朋友关系。我们的问题是，除了上图展示的情况之外，还有别的同样满足要求的情况吗？        有。想象屋子里有 16 个人，他们站成了一个 4 × 4 的方阵。每行里的 4 个人互相之间都是朋友，每列里的 4 个人互相之间也都是朋友。于是，对于任意两个同一行或者同一列的人来说，都恰好有 2 个共同的朋 ...继续阅读 (20)

无穷多个相同大小的正方形格子排成一排，向左右两边无限地延伸。每个格子里都有 0 个、 1 个或多个原子。每一次，你可以对它们做下面两种操作之一：选择某个格子，保证该格子内至少含有 1 个原子。将该格子内的其中 1 个原子分裂为 2 个，从而使得该格子内的原子数量减 1 ，两边的邻格里的原子数量分别加 1。选择某个格子，保证两边的邻格里均至少含有 1 个原子。从两边的邻格里各取 1 个原子聚合起来，从而使得两边的邻格里的原子数量分别减 1 ，该格子内的原子数量加 1。初始时，某个格子里有 1 个原子。现在，你需要在若干次操作之后，让它右移 6 格。也就是说，你需要用若干次操作把下面的第一个图变成第二个图（其中，数字 1 表示该格内的原子数为 1 ）。继续阅读下去之前，你不妨自己先试一试。你可以在纸上画好格子，用硬币、大米、巧克力豆等物体代替原子。         其中一种方法如下。你或许会觉得这里面隐藏着一些规律。我们似乎可以对上面的方法进行扩展，把初始时的那个原子移到它右边的任意一格里，比方说把初始时的那个原子移到它右边第 2 格，或者第 3 格，或者第 7 格的位置。然而，简单地试试，你会发现，这还真的不行。上述方法只适用于右移 6 格的情况。事实上，我们可以证明，如果某个格子里的 1 个原 ...继续阅读 (10)

2016 年 IMO 的第 6 题（也就是第二天比赛的第 3 题）非常有趣，这恐怕算得上是近十年来 IMO 的所有题目中最有趣的题目之一。平面上有 n ≥ 2 条线段，每两条线段都有一个交点，并且任意三条线段都不交于同一点。 Geoff 打算在每条线段的其中一个端点处放置一只青蛙，并让每只青蛙都朝向它所在线段的另一个端点。然后， Geoff 将会拍 n – 1 次手。每次拍手时，每只青蛙都立即向前跳到它所在线段的下一个交点处（青蛙们在跳跃过程中始终不会改变方向）。 Geoff 希望巧妙地安排初始时放置青蛙的方法，使得在整个过程中，任意两只青蛙都不会同时到达某个相同的交点。这个题目有两个小问。证明：当 n 为奇数时， Geoff 一定有办法实现他的要求。证明：当 n 为偶数时， Geoff 永远无法实现他的要求。         下图是 n = 5 时的其中一种可能的线段布局，以及其中一种满足要求的青蛙放法。你可以试一试， n = 5 时的其他放法就不见得满足要求了，而 n 为偶数时的任何一种放法都是不满足要求的。注意到，在上面这种满足要求的青蛙放法中，任何两只青蛙都不在“相邻”的端点上。这不是巧合。我们接下来说明，把两只青蛙放在“相邻”的端点上，则这两只青蛙必然会相撞。这里，我们可 ...继续阅读 (5)

让我们来玩一个游戏。把某个国际象棋棋子放在棋盘上，两人遵循棋子的走法，轮流移动棋子，但只能将棋子往左方、下方或者左下方移动。谁先将棋子移动到棋盘的最左下角，谁就获胜。如果把棋子放在如图所示的位置，那么你愿意先走还是后走？显然，答案与我们放的是什么棋子有关。这个游戏对于兵来说是没有意义的。在如图所示的地方放马或者放象，不管怎样都无法把它移动到棋盘的最左下角，所以我们也就不分析了。因此，我们只需要研究王、后、车三种情况。在国际象棋中，车每次可以横着或竖着走任意多格。在上述游戏中，受到规则的限制，车每次只能向左或者向下走任意多格。如果问题中的棋子是车，答案就非常简单了：你应该选择先走。你应该直接把车移到棋盘对角线上的位置（如左图所示），然后不管对方怎么走，你都把它移回到棋盘的对角线上。这样，你就能保证必胜了。在国际象棋中，王每次可以横着、竖着或者斜着走一格。在上述游戏中，受到规则的限制，王每次只能向左、向下或者向左下方走一格。如果问题中的棋子是王，分析出问题的答案也不算太难：你应该选择先走。你应该直接把王移到棋盘的“奇格”里（如右图所示），然后不管对方怎么走，你都可以把它再次移到某个“奇格”里。这样，你就能保证必胜了。在国际象棋中，皇后每次可以横着、竖着或者斜着走任意多格。在上述游戏中，受到规则的限制，皇后每次只能向左、向下或者向左下方走任意多格。如果问题中的棋子是皇后，那么你应该选择先 ...继续阅读 (17)

Collatz 猜想也叫做 3 · n + 1 问题。这可能是数学中最为世人所知的未解之谜。它是如此初等，连小学生都能听懂它的内容；但解决它却如此之难，以至于 Paul Erdős 曾说：“或许现在的数学还没准备好去解决这样的问题。”这究竟是一个什么样的问题呢？让我们来看一下 Collatz 猜想的叙述：任意取一个正整数 n 。如果 n 是奇数，则把 n 变为 3 · n + 1 ；如果 n 是偶数，则把 n 变为 n/2 。不断重复操作，则最终一定会得到 1 。举个例子，如果 n = 26 ，那么经过下面 10 步之后，它最终变为了 1 ：26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1Collatz 猜想说的就是，这个规律对于所有正整数 n 均是如此。这个问题看起来是如此简单，以至于无数的数学家都掉进了这个坑里。光从这个问题的众多别名，便能看出这个问题害人不浅： Collatz 猜想又叫做 Ulam 猜想、 Kakutani 问题、 Thwaites 猜想、 Hasse 算法、 Syracuse 问题……研究这个问题的人很多，解决这个问题的人却一个没有。后来，人们干脆把它叫做 3 · n + 1 问题，让哪个数学家也不沾光。这个问题有多难呢？我们可以从下面的这个例子中略见一斑。虽然从 26 出发只消 10 步就能变成 1 ，但若换一 ...继续阅读 (27)

来自日本体育大学的一场“集团行动”演出被制作成 GIF 动画后迅速在网上蹿红。在动画中，一个 5 × 5 的方阵沿着某一方向整齐地匀速前行，另一个 5 × 5 的方阵朝着与之垂直的方向也在整齐地匀速前进，两者奇迹般地互相穿过了对方。问题来了：这是怎么回事？         你可以把他们想象成是不同的 10 行，他们以相同的速度前进后退。只不过，其中 5 行横着走的方向跟另外 5 行不一样，于是就形成了两个互相穿过对方的方阵。也就是说，如果每一行的人手牵着手，两个方阵照样可以传过去。我是在这里看见的相关讨论：http://www.reddit.com/r/interestingasfuck/comments/4gsgyu/men_in_sync/ ...继续阅读 (131)

你的数学直觉怎么样？你能凭借直觉，迅速地判断出谁的概率大，谁的概率小吗？下面就是 26 个这样的问题。如果你感兴趣的话，你可以先扫一遍所有的问题，再逐一阅读答案，看看你猜对了多少。这篇文章很长，你可以考虑把它加入书签，每天看几个问题。 1．A 、 B 、 C 、 D 四人玩扑克牌游戏， A 、 C 两人同盟， B 、 D 两人同盟。将除去大小王的 52 张牌随机分发给四人（每人获得 13 张牌）后，下面哪种情况的可能性更大一些？A．A 、 C 两人手中都没有梅花B．A 、 C 两人手中囊括了所有的梅花C．上述两种情况的出现概率相同A 、 C 两人手中都没有梅花，等价于 B 、 D 两人手中囊括了所有的梅花，它的概率与 A 、 C 两人手中囊括所有梅花的概率相同。因此，这个问题的答案显然是 C 。 2．我给 10 个好朋友分别写了一封信，并把这 10 个人的地址分别写在了 10 个信封上。如果我随机地将这 10 封信装进 10 个信封里（每封信都装进了一个不同的信封里），下面哪种情况的可能性更大一些？A．恰好有 9 封信装进了正确的信封B．所有 10 封信都装进了正确的信封C．上述两种情况的出现概率相同你或许会以为，全都装对的可能性很低，装错一个的可能性则略高一些。然而事实上，这道题的答案是 B 。原因非常简单：恰好有 9 封信装对，这是根本不可能的——如果其中 ...继续阅读 (33)

著名的四色定理（four color theorem）告诉我们，如果一个地图由若干个连通区域构成（没有飞地），那么在给每个区域染色时，为了让相邻区域的颜色不同，最多只需要四种颜色就足够了。不过，这个结论成立有一个条件：整个地图已经事先确定了。如果我们每次只增加一个区域的话呢？具体地说，如果每次你给一个区域染色之后，我再画出下一个区域，并且之前已经染好颜色的区域不能再修改了，那么四种颜色还足够吗？这里，我们假设，在染色时，你总是遵循一个非常朴素的贪心策略：用第一个合法的颜色给每个新的区域染色。下面这个例子告诉我们，在这些假设下，四种颜色就不够了，有时五种颜色是必需的。我们的问题就是，在这些假设下，五种颜色就一定够吗？有没有可能构造出某个情况，使得六种颜色是必需的？有没有可能构造出某个情况，使得七种颜色是必需的？        事实上，对于任意的正整数 n ，我们都能构造出某种情况，使得 n 种颜色是必需的。下图显示的是 n = 6 的情况，我们很容易把它扩展到任意大的正整数 n 。你可以在这里看到更多有关于这个问题的讨论：http://www.iread.it/map_colors.php ...继续阅读 (21)

看守打算和 A 、 B 两名囚犯做一个游戏。首先，看守从一副牌中取出大小王，将剩余的 52 张牌洗好，并在桌子上从左至右地把它们摆成一排，每张牌都是正面朝上。然后，看守让囚犯 A 来到桌前，允许囚犯 A 观察牌面，并交换其中两张牌的位置。接着，看守将囚犯 A 关回牢房，把所有牌全都翻到背面朝上（但位置不变），让囚犯 B 来到桌前。看守随便报出一张牌的花色和点数（比如“梅花 3”），要求囚犯 B 找出这张牌。囚犯 B 每次可以翻开任意一张尚未翻开的牌，但一共只有 26 次机会。如果囚犯 B 在这 26 次机会之内找到了看守想要的牌，则两名囚犯赢得游戏，无罪释放；如果囚犯 B 翻开了 26 张牌之后，还没找到看守想要的牌，则两名囚犯输掉游戏，立即死刑。在整个游戏开始之前，两名囚犯可以商量一个策略；游戏开始后，两人就不能有任何其他形式的交流。果不其然，这又是一个关满了数学天才的监狱。两名囚犯碰头后，很快就商量出了一种必胜的策略。这种必胜的策略是什么？       两名囚犯可以约定一种用 1 到 52 给扑克牌进行编号的方案。于是，桌上的扑克牌就相当于是写有 1 到 52 的卡片形成的一个排列了。假设现在所有的牌都是背面朝上的。想一想，如果你翻开某张牌，看看牌上写的是几，然后就去翻左起第几张牌，并不断地这样做下去，最后的 ...继续阅读 (15)