若干个顶点（vertex）以及某些顶点对之间的边（edge）就构成了一个图（graph）。如果图 G 和图 H 的顶点数相同，并且它们的顶点之间存在着某种对应关系，使得图 G 中的两个顶点之间有边，当且仅当图 H 中的两个对应顶点之间有边，我们就说图 G 和图 H 是同构的（isomorphism）。直观地说，两个图是同构的，意思就是它们本质上是同一个图，虽然具体的画法可能不一样。下面的两个图就是同构的。其中一种顶点对应关系是： 1 – a, 2 – c, 3 – d, 4 – b, 5 – e, 6 – g, 7 – h, 8 – f 。目前，人们还没有找到任何高效的算法，能迅速判断出两个图是否同构。在普通计算机上，判断两个图是否同构，这需要花费大量的时间。因此，人们经常以图的同构为例，来解释复杂度理论和现代密码学中的诸多概念。假设你家里的计算机十分强大，能很快判断出两个图是否同构，还能在两个图确实同构的情况下，给出一种顶点对应关系。但你的同桌家里的计算机却非常弱，没法做什么大型运算。课堂上，老师向全班展示了两个很复杂的图，不妨把它们叫作图 G 和图 H 。老师布置了一个特别的选做题：判断出这两个图是否同构。每个同学都可以提交答案，答案里只需要写“是”或者“不是”即可。按时提交答案并答 ...继续阅读 (18)

ASCII 编码已经是非常直观了。 65 号字符就是大写字母 A ， 66 号字符就是大写字母 B ，以此类推， 90 号字符就是大写字母 Z 。为了看出某个编码究竟对应字母表中的第几个字母，我们只需要用下面的函数关系即可：f(x) = x - 64整个函数关系极其简单，里面只包含一个数学运算符号。当然，历史上也出现过很多非常不直观的字符编码方式。 EBCDIC 是由 IBM 提出的一种字符编码标准，它的编码方式十分古怪，可害苦了当年的那些程序员。据说，当年的程序员没有一个不痛恨 EBCDIC 的。因此， EBCDIC 也理所当然地成为了众人调侃的对象。 Wikipedia 上的EBCDIC页面甚至还专门有一节，讲述各种与 EBCDIC 有关的笑话。有一个经典的笑话说的就是，美国政府跑去 IBM ，想要研发一种数据加密标准，于是 EBCDIC 编码就诞生了。经典游戏 Zork 中， EBCDIC 也被用来形容艰涩难懂的文字：一个大房间里，各式各样笨重的机器在呼呼作响，电阻烧焦了的味儿扑鼻而来。其中一面墙上有三个按钮，形状分别是圆形、三角形和正方形。自然，这些按钮上方的说明文字都是用 EBCDIC 书写的……那么， EBCDIC 编码究竟有多诡异呢？让我们来看看大写字母 A 到 Z 在 EBCDIC 中的编码吧。 ABCDEFGHI   &nb ...继续阅读 (12)

下面这道题目是Using your Head is Permitted 谜题站 2015 年 12 月的题目。若干个顶点（vertex）以及某些顶点对之间的边（edge）就构成了一个图（graph）。下面就是这篇文章里会用到的四个图。其中，第一个图是由 2 个顶点组成的路径（path），因而我们把它称作 P2；第二个图是由 3 个顶点组成的路径，因而我们把它称作 P3。第三个图是由 3 个顶点组成的一个环（cycle），因而我们把它称作 C3；第四个图是由 4 个顶点组成的一个环，因而我们把它称作 C4。选取图中的一个或多个顶点，同时选出这些顶点之间的所有边，得到的就是原图的一个“诱导子图”（induced subgraph）。在这篇文章中，我们只考虑那些连通的诱导子图。下面是一个有 6 个顶点的图，右边则列出了由它可以产生出来的所有连通诱导子图。注意，由于有些诱导子图不是连通的（比如只选择正上方的两个点和右下角的两个点，或者干脆只选择最左边那个点和最右边那个点），因而它们并没有在右边列出。在这些连通诱导子图里，很多图的本质都是相同的。比方说，第一行最后三个图和第二行前面四个图的本质是一样的，它们都是刚才我们介绍过的 P2。当然，第一行的前六个图的本质也都是一样的，即由单个顶点构成的图，有时会被人们记作 K1。观察最后一行的倒数第二个和倒数第三个图，你能看出这两个图的本质也一样吗？ ...继续阅读 (15)

y = x2似乎把 y = x 远远地甩在了后面，但为何当 x 无穷大时，二者能同时到达无穷？当 x 从有限大变为无限大时， 1 / x 的函数值是怎样慢慢变成 0 的？ y = ex, y = xx, y = x! ，谁的函数值最先接近无穷？ y = ln x, y = x · ln x, y = √x，谁的函数值最后接近无穷？下面这个有趣的方法能直观地展示出函数图象在无穷远处的样子，进而回答刚才这些看似毫无意义的问题。当 x 从 -π/2 连续地增加到 π/2 时， x 的正切值将会从负无穷连续地增加到正无穷。因此，为了展示出 y = f(x) 在无穷远处的样子，我们可以画出 tan(y) = f(tan(x)) 在 (-π/2, π/2) × (-π/2, π/2) 上的图象，也就是 y = arctan(f(tan(x))) 在 (-π/2, π/2) × (-π/2, π/2) 上的图象。最后得到的结果是什么样的呢？让我们一起来看看吧。 ...继续阅读 (17)

大家或许都听说过一个与正方形剖分相关的非常经典的问题：对于哪些正整数 n ，我们可以把一个正方形分割成 n 个小正方形（允许出现大小相同的小正方形）？答案是，除了 n = 2, 3, 5 以外，对于其他所有的 n ，把一个正方形分割成 n 个小正方形都是有可能的。对于 n = 1, 4, 6, 7, 8 的情况，分割方案如下图所示：对于更大的 n 呢？注意到，每次用横竖两条线把一个小正方形分成四个更小的小正方形后，我们都会让这个图形里的正方形数目增加 3 个。因此，我们只需要在 n = 6 的方案上增加两笔，就能得到一个 n = 9 的方案；只需要在 n = 7 的方案上增加两笔，就能得到一个 n = 10 的方案；只需要在 n = 8 的方案上增加两笔，就能得到一个 n = 11 的方案；只需要在 n = 9 的方案上增加两笔，就能得到一个 n = 12 的方案……于是，其他所有的情况都被我们解决了。 不过，你有没有想过，同样的问题搬到立方体上，答案又会如何呢？换句话说，对于哪些正整数 n ，我们可以把一个立方体分割成 n 个小立方体（允许出现大小相同的小立方体）？人们已经证明了一个和刚才类似的结论：除了有限多个 n 以外，对于其他所有的 n ，这个问题都是有解的。事实上，对于所有的正整数 n ≥ 48 ，把一个立方体分割成 n 个小立方体都是有可能的。证明思路和刚才一 ...继续阅读 (32)

最近，来自wavegrower的一张 gif 动画红遍了reddit。有人提出了这么一个问题：每个小点最后都会回到自己原来的位置上吗？注意，这些小点并不是沿着一个回路在运动，而是沿着三个交替出现的回路在运动。         答案是肯定的。 math 版上的OmnipotentEntity给出了一个简短的证明。假设某个地方的小点出发后永远不会回到原地。由于小点的运动规律是三步一个周期，因此每三步之后从此处出发的小点将会拥有完全相同的命运——永远不会回到原地。既然从这里出发的小点不断地发生有去无回的情况，那么总有一个时候小点会被用光，此时就再也没有小点能从这里出发了。但这与我们看到的实际情况相矛盾：每个地方的小点都是用之不竭的。熟悉群论的朋友会很快发现，这个结论几乎是显然的。小点的每一步运动都形成了一个置换，三个置换的复合本质上也还是一个置换，而这个置换的足够多次幂一定会变成单位置换。这意味着，不但每个点都能回到自己原来的位置，而且所有点能同时回到自己原来的位置（后者可能需要更长的时间）。事实上，有限群中的任意一个元素都有一个有限的阶，因而如果某类变换操作能构成一个有限群的话，不断地执行某一个操作，或者不断地循环执行某几个操作，最后总有一个时刻你会发现，一切又都重新变回了原样。拿出一副新的扑克牌 ...继续阅读 (37)

在各种令人惊讶的数学事实当中，我最喜欢的类型之一便是，某个数学命题在二维空间、三维空间甚至四维空间当中都是成立的，但偏偏到了某个维度时，命题就不成立了。 Keller 猜想就是一个这样的例子。同样大小的正方形平铺整个平面（比如像下图那样），则一定存在某些边与边完全贴合的相邻正方形。类似地，同样大小的正方体平铺整个空间（比如像下图那样），则一定存在某些面与面完全贴合的相邻正方体。1930 年， Ott-Heinrich Keller 猜测，或许这一点对于更高维度的空间都是成立的。也就是说， Ott-Heinrich Keller 猜测，对于任意正整数 n ≥ 2 都有，同样大小的 n 维立方体平铺整个 n 维空间，则一定有两个面与面完全贴合的相邻 n 维立方体。这就是著名的 Keller 猜想。1940 年， Oskar Perron 证明了，当 n = 2, 3, 4, 5, 6 时， Keller 猜想确实是正确的。一切似乎都在正轨上。然而，到了 1992 年的时候，事情出现了转折： Jeffrey Lagarias 和 Peter Shor 构造了一个 n = 12 时的反例，从而推翻了 Keller 猜想。让我们来看一看 Lagarias 和 Shor 的神构造吧。为了方便起见，下面我们直接用“立方体”一词指代 n 维的广义立方体，“立方体的面”则代表 n 维立方体的 n & ...继续阅读 (30)

下面这个题目来自2015 年 7 月的 Using your Head is Permitted。假设集合 S 是由所有形如 3x· 4y的数构成的，其中 x 和 y 都是非负整数。因而，集合 S 是一个无穷集合，其中最小的几个元素依次为 1, 3, 4, 9, 12, 16, 27, … 。如果某个正整数 n 能表示成集合 S 中的一个或多个不重复的数之和，我们就说 n 是集合 S 的一个子集和。例如， 23 就是 S 的一个子集和，因为 23 可以表示成 3 + 4 + 16 。然而， 6 就不是 S 的一个子集和。求证：除了有限多个正整数以外，其他所有的正整数都是集合 S 的子集和。 首先我们证明，如果 n 是一个大于 9 的正整数，那么在集合 S 中一定存在一个小于 n 但大于 n / 2 的元素。不妨假设集合 S 中不小于 n 的最小元素是 t = 3a· 4b。如果 b > 0 的话，那么 3a + 1· 4b – 1= (3 / 4) · t > t / 2 ≥ n / 2 就是一个满足要求的数；如果 b = 0 的话，考虑到 t ≥ n > 9 ，因此 a 肯定至少是 3 ，于是 3a – 3· 4b + 2= (16 / 27) · t > t / 2 ≥ n / 2 就是一个满足要求的数。这说明，我们可以从任意 ...继续阅读 (28)

计算机历史上，很多存储器的写入操作都是一次性的。 Wikipedia 的write once read many词条里提到了两个最经典的例子，一个是大家熟悉的 CD-R 和 DVD-R ，另一个则是更早的打孔卡片和打孔纸带。在介绍后者时，文章里说：“虽然第一次打孔之后，没有孔的区域还能继续打孔，但这么做几乎没有任何实际用处。”因此，打孔卡片和打孔纸带通常也被看成是只能写入一次的存储设备。事实上真的是这样吗？ 1982 年， Ronald Rivest 和 Adi Shamir 发表了一篇题为《怎样重复使用一次写入型存储器》（How to Reuse a “Write-Once” Memory）的论文，提出了一个很有意思的想法。大家有觉得 Ronald Rivest 和 Adi Shamir 这两个人名都很眼熟吗？没错，这两个人之前曾经和 Leonard Adleman 一道，共同建立了 RSA 公钥加密系统。其中， Ronald Rivest 就是 RSA 中的那个 R ， Adi Shamir 就是 RSA 中的那个 S 。在这篇论文的开头， Ronald Rivest 和 Adi Shamir 举了一个非常简单的例子。假设初始时存储器里的所有 bit 全是 0 。存储器的写入操作是单向的，它只能把 0 变成 1 ，却不能把 1 变成 0 。我们可以把存储 ...继续阅读 (25)

2015 年 IMO 的第 1 题很有意思。假设 S 是平面上的某个点集。如果对于 S 中的任意两点 A 、 B ，我们都能在 S 中找到一个点 C 满足 AC = BC ，我们就说这个点集 S 是平衡的。如果对于 S 中的任意三点 A 、 B 、 C ，我们都无法在 S 中找到一个点 P 满足 PA = PB = PC ，我们就说这个点集 S 是无中心的。这道题有两个小问。证明：对于所有大于等于 3 的正整数 n ，都存在一个由 n 个点构成的平衡点集。对于哪些大于等于 3 的正整数 n ，存在由 n 个点构成的平衡的但无中心的点集？ 在第一小问中，如果 n 为奇数，我们只需要在圆周上取 n 个间隔相等的点即可。这 n 个点把圆周分成了 n 段等长的小圆弧。由于 n 为奇数，因此对于任意两点 A 、 B 来说，在优弧 AB 和劣弧 AB 当中，必然是一个包含奇数段小圆弧，一个包含偶数段小圆弧，其中后者上的中点一定也在点集里，不妨把它记作点 C 。由于弧 AC 的长度等于弧 BC ，因此线段 AC 的长度等于线段 BC 。这说明，这 n 个点满足平衡性的要求。当 n = 4 时，以 O 为圆心作圆，在圆上找出 A 、 B 、 C 三个点，使得 △OAB 、 △OBC 都是等边三角形。容易验证，这四个点是满足要求的。在此基础上，每次再在圆上找两个与点 O 构成等边三角形 ...继续阅读 (32)

房间的正中间悬浮着一个正方形的金属框。五位画家看到这般奇迹后，立即拿出纸和笔，把这个金属框的样子画了下来。但是，由于五位画家观察这个金属框的角度不同，它们画出来的结果也互不相同。请问，这五位画家画出来的结果都是对的吗？换句话说，有没有哪一幅图或者哪几幅图根本不可能是一个正方形的透视图？ 首先，我们简单解释一下透视图背后的数学模型。假设人眼和实物之间有一个矩形的画布。将实物中的任意一点 X0与人眼相连，都会与画布有一个交点 X ，那么在人眼看来，实物上的 X0点和画布上的 X 点是完全重合的。我们就说，这个 X 点是 X0点在画布上的像。把实物中的每一个点在画布上的像都描出来，我们就能得到实物在这块矩形画布上的透视图了。假设实物上有一条线段 A0B0，那么人眼、 A0点、 B0点就确定了空间当中的一个平面。由于线段 A0B0上的任意一点与人眼的连线都在这个平面上，因而这条线段的像一定在这个平面与矩形画布的交线上。这说明，任意一条直线在画布上的像仍然是一条直线。在这个意义下， A 、 B 、 C 、 D 、 E 这五幅图究竟画得对不对呢？我们先来说明，图 D 和图 E 是对的。事实上，我们将会证明，任意一个两组对边都不平行的凸四边形 ABCD 都可以看作是从某个角度观察正方形所得到的透视图。假设这个四边形的对角线 AC 和 BD 交于点 O ，再假设它的两组对边分别交于点 ...继续阅读 (28)

波兰数学家 Wacław Sierpiński 对数论有很多研究。在他一生出版的 50 多本书里， 250 Problems of Elementary Number Theory 一书显得格外有趣。这里面不但有各种出人意料的数学事实，还有很多精妙的证明和大胆的构造，让人大呼过瘾。我从中选择了一些问题，在这里和大家一块儿分享。下面的文字没有完全照搬书中的内容，而是做了大量的改动和扩展；若有出错的地方，还请大家指正。个别题目会涉及一些初等数论中的著名定理，它们都可以在这篇文章里找到。找出所有的正整数 n ，使得 n2+ 1 能被 n + 1 整除。满足要求的解只有一个： n = 1 。原因很简单：如果 n2+ 1 = n(n + 1) – (n – 1) 是 n + 1 的整倍数，那么 n – 1 也必须是 n + 1 的整倍数，这只有一种可能性，即 n – 1 = 0 。证明：对于任意大于 6 的偶数 n ，我们都能找到两个质数 p 和 q ，使得 n – p 和 n – q 互质。不管 n 是多少，令 p = 3, q = 5 即可。这样一来， n – p 和 n – q 就是两个相邻的奇数，它们必然互质。找出所有公差为 100 的等差数列，使得里面的所有项都是质数。满足要求的等差数列 ...继续阅读 (45)

有时，为了说明某个式子始终成立，我们会为它构造一个情境。例如，为了说明C(m, 0) · C(w, r) + C(m, 1) · C(w, r – 1) + … + C(m, r) · C(w, 0) = C(m + w, r)始终成立，只需要注意到，等号的左边和右边计算的都是同一个东西：假如一个班上有 m 个男生 w 个女生，从中选出 r 个人有多少种方案。等号左边的计算方式是，分别计算 0 男 r 女、 1 男 r – 1 女、 2 男 r – 2 女等 r + 1 种情况的方案数，然后把它们加起来。等号右边则是直接算出了从这 m + w 个人中选出 r 个人的方案数。两种算法所得的答案应该是相等的。现在，请你构造一个情境，来说明不等式(1 – pm)n+ (1 – qn)m≥ 1总成立，其中 m 、 n 是任意正整数， p 、 q 是任意正实数，并且满足 p + q ≤ 1 。假设有一个三角形 ABC ，其中从 B 顶点引出 n 条射线，与 AC 边交于 n 个点，又从 C 顶点引出 m 条射线，与 AB 边交于 m 个点。所有这些线条在三角形内一共产生了 mn 个交点。现在，在每一个交点处都画一个小圆，于是每个小圆内都会有两条小线段。对于每一个小圆，我们都随机从下述三个操作中选择一个来执行。擦去 C 点 ...继续阅读 (23)

大家一定见过很多“我不知道，我也不知道，我还是不知道，我还是不知道，我知道了，我也知道了”的问题。但是，我想大家一定没有见过下面这样的问题。A 、 B 两人在主持人 C 的带领下玩一个游戏。 C 向两人宣布游戏规则：“一会儿我会随机产生两个不同的形如 n – 1/2k– 1/2k+r的数，其中 n 、 k 是正整数， r 是非负整数。然后，我会把这两个数分别交给你们。你们每个人都只知道自己手中的数是多少，但不知道对方手中的数是多少。你们需要猜测，谁手中的数更大一些。”这里，我们假设所有人的逻辑推理能力都是无限强的，并且这一点本身也成为了共识。 C 按照规则随机产生了两个数，把它们交给了 A 和 B ，然后问他们是否知道谁手中的数更大。于是有了这样的一段对话。A ：我不知道。B ：我也不知道。A ：我还是不知道。B ：我也还是不知道。C ：这样下去是没有用的！可以告诉你们，不管你们像这样来来回回说多少轮，你们仍然都没法知道，谁手中的数更大一些。A ：哇，这个信息量好像有点儿大！不过，即使知道了这一点，我还是不知道谁手中的数更大。B ：我也还是不知道。A ：我继续不知道。B ：我也继续不知道。C ：还是套用刚才的话，不管你们像这样继续说多少轮，你们仍然没法知道谁手中的数更大。A ：哦……不过，我还是不知道谁手中的数更大。B ：而且我也还是不知道。我们究竟什么时候 ...继续阅读 (24)

一位画家正在画画。画布上是一望无际的平原，一条笔直的铁路向无限远的地方延伸。画家画了铁路上的两根相邻的枕木，它们在画面上呈两条平行的线段，并且都与地平线平行。这时，画家突然犯难了：根据透视的原理，下一根枕木应该画在哪儿呢？你能帮他确定出下一根枕木的位置吗？这里，我们假设陆地是一个无限大的平面，并且铁路上的相邻枕木之间的间距相等。假设两根枕木分别是 AB 和 CD 。容易想到，如果地面上的两条直线交于地平线处，就说明这两条直线是平行的。另外，注意到相邻枕木之间构成了一个个全等的矩形，它们的对角线应该是平行的。于是，我们就有了这样一个方案：延长 BC 与地平线交于点 P ，然后连接 PD ，与左边的铁轨线交于 E 。现在，只需要作一条与已有枕木平行的线段 EF 。线段 EF 就是铁路中的下一根枕木。这个问题来自 Ross Honsberger 的 More Mathematical Morsels 一书。 ...继续阅读 (26)

把 6 分成一个或多个正整数之和，本质不同的方案只有以下 11 种：分拆方案含有多少种不同的数615 + 124 + 224 + 1 + 123 + 313 + 2 + 133 + 1 + 1 + 122 + 2 + 212 + 2 + 1 + 122 + 1 + 1 + 1 + 121 + 1 + 1 + 1 + 1 + 11其中，每一行右边的那个数表示，该分拆方案中含有多少种不同的数。把右列的所有数全部加起来，结果是 19 。神奇的是，如果你数一数所有分拆方案中 1 出现的总次数，你会发现结果也是 19 。这并不是巧合。事实上，对于任意一个正整数来说，各个分拆方案中不同的数的个数之和，一定都等于所有方案中 1 出现的总次数。这是为什么呢？这个结论还有一个比较直接的推广，你能想到吗？这个结论可以推广为，对于任意一个正整数 n 来说，各个分拆方案中出现了至少 k 次的数的个数之和，一定等于所有方案中 k 出现的总次数。以 n = 6, k = 2 为例：分拆方案含有多少种至少出现了 2 次的数605 + 104 + 204 + 1 + 113 + 313 + 2 + 103 + 1 + 1 + 112 + 2 + 212 + 2 + 1 + 122 + 1 + 1 + 1 + 111 + 1 + 1 + 1 + 1 + 11右列的总和是 8 ，这正好是所有分拆方案中 2 出现的总次 ...继续阅读 (33)

（一）一个博弈游戏让我们来玩一个游戏。下面有五行石子，白色的石子都是我的，黑色的石子都是你的。我们轮流拿走一个自己的石子，并且规定如果一个石子被拿走了，它后面的所有石子都要被扔掉。谁先没有拿的了，谁就输了。○●●○●●○●●○●○○●○●●○●○○○○●●●○●●●●比如说，如果你先走的话，你可以把第四行的第三个石子拿走，按规定第四行将会只剩下前面两个石子：○●●○●●○●●○●○○●○●●○●○○○○●●●现在轮到我走了。我可以拿走第二行倒数第二个石子，于是整个棋局变成了这样：○●●○●●○●●○●○○●○●●○○○○●●●现在，假如说你拿走了第二行中的第一个石子（于是第二行就没了），那么我就赢定了。我可以拿走第一行中的第一个石子，从而让整个棋局只剩下后面三行：○○○○●●●这三行中有四个白石子，有三个黑石子，并且每一行都是同种石子。于是整个局面完全变成了一个拼石子个数的游戏，我只需要一个一个地拿走白色石子，你必然将会率先无路可走。受此启发，我们自然地想到了一种刻画棋局的方式：把每个白色石子记作 +1 ，把每个黑色石子记作 -1 。于是 ○○○○ + ●● + ● = 4 – 2 – 1 = 1 ，结果是一个正数，这就表明该局面下我将必胜，即使此时轮到我先走。你会发现上面的说法很有道理。毕竟白色的石子越多，对我越有利，给我带来的效用为正；而黑色的石子会减小 ...继续阅读 (55)

众所周知，三角形当中的任意两边之和始终大于第三边。在四边形中，我们还有类似的结论吗？ 2015 年 2 月的UyHiP谜题就是：证明或推翻，四边形的三条最长边之和始终大于两条对角线的长度之和。这个结论是正确的。下面的证明是由 Daniel Bitin 给出的。首先，让我们先来证明一个引理：若 △ABC 中， ∠C ≥ 90° ，则 AB + CH > AC + BC ，其中 CH 是 AB 边上的高。不妨先来考虑 ∠C = 90° 的情况。由勾股定理可知：AB2= AC2+ BC2另外，由于这个三角形的面积有两种不同的计算方法，于是我们有：AB · CH = AC · BC前一个式子加上后一个式子的两倍，于是得到：AB2+ 2 · AB · CH = AC2+ 2 · AC · BC + BC2所以说AB2+ 2 · AB · CH + CH2> AC2+ 2 · AC · BC + BC2即(AB + CH)2> (AC + BC)2因此AB + CH > AC + BC如果 ∠C > 90° 呢？我们可以在 AB 边上找一个点 B′ ，使得 ∠ACB′ = 90° 。我们已经证明了AB′ + CH > AC + B′C而由于三角形两边之和大于第三边，我们有BB′ + B′C > BC两个不等式相加，于是得到AB′ + CH + BB′ + B′C > AC + B′C + B ...继续阅读 (27)

昨晚，Localhost-8080想要知道“痢疾”和“腹泻”之间的关系是什么。于是，我故作认真地打开词典，字正腔圆地念道：“牛、羊、猪等的脊椎骨内侧的嫩肉，呈条状。” 她过了好半天才反应过来，原来我故意念了“里脊”的释义。于是我改口道：“哦，念错了，念错了，应该是这个——儒家经典之一，是秦汉以前各种礼仪论著的选集。”随后，我又念了“对自己有利”和“立刻”这么两条。她很快答出，它们实际上分别是“礼记”、“利己”、“立即”的释义。我们突然觉得这个游戏还蛮有意思，于是制作了下面 32 道题。在下面的每一道题中，你需要根据释义猜出 A 、 B 两个词语，其中 B 词的两个字分别是由 A 词的两个字改变声调得来的。为了让游戏更有意思，在我们的题目中，每个词里面的字都不会出现在这个词的释义当中。例如，第 1 题的答案是“失业”和“视野”。01A 有劳动能力的人找不到工作。01B 眼睛看到的空间范围。02A 重新烘烤。02B 用财物买通别人。03A 军事上防守用的建筑物，多用砖、石、钢筋混凝土等建成。03B 暗中用假的换真的或用坏的换好的。04A 毁坏的年代较久的建筑物所在的地方。04B 为了达到既定的目的而自觉地努力的心理状态。05A 长于烹调并以此为专业的人。05B 在社会上活动，跟人往来。06A 不愿让外人知道的。06B 东、南、西、北，泛指各处。07A 有发言权和表决权的成员参加会议。0 ...继续阅读 (26)

1969 年， David Klarner 提出了这样一个问题：能否把一个长方形划分成奇数个全等的小块，并且这些小块不能是小长方形？如果把问题改为偶数个小块，这件事情是很容易做到的，如下图所示。对于奇数个小块的情况，问题显然就没有那么简单了。继续阅读下去之前，你不妨先想一想。答案是肯定的。 David Klarner 自己给出了两个这样的例子：我是在 Unsolved Problems in Geometry 一书里看到这个问题的。 ...继续阅读 (19)

最近沉迷于用 Mathematica 制作动画。受到这个动画的启发，我决定自己制作一些动画，来演示分形图形的进化过程。下面就是我这一周的成果。Koch curve：H-fractal：Sierpinski triangle：Vicsek fractal：Lévy C curve：Dragon curve：Pythagoras tree：本来只做了 7 个，但是Localhost-8080说她还想要一个，于是专门为她定制了一大片雪花。Hexaflake： ...继续阅读 (33)