🖋️ PyTorch 的自动微分机制在进行PINNs代码实战前，有必要对 PyTorch 的自动微分机制，也就是autograd模块的实现进行复习。它使得神经网络中的梯度计算变得非常简单和高效。以下是复习自动微分机制的基本概念和步骤：张量及梯度追踪 (requires_grad=True)在 PyTorch 中，张量（Tensor）是主要的数据结构，类似于多维数组。自动微分机制会记录对张量的操作以构建计算图，但前提是张量需要启用梯度追踪。这可以通过设置requires_grad=True来完成：x = torch.tensor(2.0, requires_grad=True) t = torch.tensor(3.0, requires_grad=True)这段代码创建了两个张量x和t，并开启了梯度追踪。这样在计算过程中，PyTorch 会自动记录对x和t的操作，以便在之后计算梯度。定义函数并构建计算图PyTorch 会基于操作来构建计算图。每个操作都创建一个节点，并将输出作为另一个节点的输入。这样，计算图会记录下从输入到输出的所有依赖关系：f = x ** 2 + 3 * x * t + t ** 2这定义了一个函数：$$ f(x, t) = x^2 + 3xt + t^2 $$由于x和t都开启了梯度追踪，f也会有梯度属性，并且 PyTorch 会自动构建计算图。计算梯度为了得到 ...继续阅读 (12)

项目概述DataImputer是一个基于 Web 的Water Supply Systems数据修补系统。采用图傅里叶变换原理，针对供水管网的流量、压力时间序列进行数据修补工作。方法论部分请参考论文：ZHOU X, MAN Y, LIU S, et al. 2024. Leveraging multi-level correlations for imputing monitoring data in water supply systems using graph signal sampling theory. Water Research X [J], 25: 100274.项目地址为：https://group.zhouxiao.tech/imputation.html主要功能为允许用户上传含有缺失值的供水管网流量、压力数据文件，进行自动化的数据修补工作。系统能够对缺失的数据进行插补，并在处理完成后生成图表以可视化结果，支持下载处理后的文件。该系统设计成全自动化流程，简化用户操作，提高数据预处理效率。系统架构项目实现过程中，核心包括前端页面设计、后端数据处理逻辑、跨域处理以及服务器配置优化。主要技术栈为：前端页面和交互逻辑主要由 HTML、CSS、JavaScript 和 jQuery 组成；后端由 Flask 提供 API 支持，包括文件上传、数据处理、图表生成和文件下载； ...继续阅读 (9)

文章头图来自：CAI S, MAO Z, WANG Z, et al. 2021. Physics-informed neural networks (PINNs) for fluid mechanics: a review. Acta Mechanica Sinica [J], 37: 1727-1738.🥕 基本信息1、什么是物理信息神经网络？Expand / 拓展物理信息神经网络 (Physics-Informed Neural Networks, PINNs) 是一种结合物理学知识和深度学习的强大工具，特别适用于求解偏微分方程（PDE）等复杂物理问题。PINNs 将神经网络的泛化能力与物理定律结合，通过编码物理方程中的约束条件来指导神经网络的学习。这种方法特别适用于那些难以通过传统数值方法求解的复杂问题，比如流体力学、热传导、结构力学等领域。简单来说，可以理解为下图：开题报告2、PINNs的优势（最明显的两点）：Expand / 拓展总而言之，言而总之，PINNs有以下优点：少量数据需求：由于物理方程本身已经提供了大量的约束信息，PINNs 通常需要的训练数据较少，在小样本情况下仍能表现出较好的效果。可解释性：因为 PINNs 是基于物理方程的，解的可解释性比纯数据驱动的神经网络模型更强。🤔 初步认识目前主要有两种方式将物理信息嵌入到神经网络中。一种是将偏微分方程（Part ...继续阅读 (10)

🈺 引更为准确一点地来说，我应该是在2024年的10月01日进入了自己的26岁。不同于家乡我们的父辈一代，他们在26岁的年纪早已成为一家之主，已经为家庭上上下下奔波多年。时代的不同导致我们这代人的26岁处于两极分化状态——有些靠着家里上一代的财富或人脉积累，在小县城过着安安稳稳的生活；有些仍整日在异地奔波，有着一个过年回去说起来看似风光的工作，实际回到大城市又是做牛做马 😔 。我觉得26岁对于我们这代人还是挺重要的一个节点，最起码在我看来，身边的朋友都已陆陆续续步入生活的正轨。这篇博客的目的，是对自己近段生活的一个总结，也是对未来的一点小展望。👨‍🔧 学业自己一路走来的艰辛，只有自己知道。外人只会看结果，过程中吃的苦还都是得自己来抗。有时候仔细想想，走的这条路，既是自己选择的，又何曾不是生活所迫。生于长于河南十八线小县城，读大学前我去过最远的地方是市里面的医院和临县的大姨家。初中的时候觉得考学无望，爸爸对我的规划是“继承”他的职业——成年后考个🚛驾驶证，成为一名货车司机。而从小对机械感兴趣的我，梦想则是去找一份修车的工作🧑‍🔧或者开挖掘机。现在回忆起来，觉得跟笑话一样。谁那个时候能想到，有一天我竟然会成为家里学历最高的人。一路走来，摸着石头过河，没有老天爷赏饭，没有任何直系亲属能够提供直接的帮助，全靠自己赌。人生的每一次选择，前面都是一片黑暗，只能靠运气去赌。最近两年流行一个词语叫 ...继续阅读 (10)

🫢差点忘了自己还有个博客了，今年感觉时间太紧了，一直也没来得及总结生活，先来几张这大半年的美图吧~⛰️ 黄山回合肥的路上黄山-01黄山-02黄山-03黄山-04黄山-05🚴 骑行十五里河我的秘密基地夕阳无限好美美美~~~只是近黄昏🏠️ 宝丰宝丰站，美女亲自送进站My Home家人们，离家的感觉谁懂啊~🏷️ 杂七杂八的天津 → 合肥天津·蓟州泰安宁波 ...继续阅读 (14)

❓ 需求分析首先展示下我的问题，以便分析本篇博客中的哪些步骤适用于你的需要。已知条件：有某地区管网的.inp文件，并且有该地区水源节点历史两个月的余氯时间序列数据。求解结果：得到该管网结构中所有节点在历史两个月中的余氯值，更准确的结果如下表展示所示：Time节点 01节点 02……节点 m时刻 012.564.28……2.56时刻 023.564.56……2.56…………………………时刻 n3.443.89……2.56🫡 基础知识什么是WNTR？简单来说：WNTR（Water Network Tool for Resilience）是由美国国家标准与技术研究院（NIST）开发的一套用于分析水分配系统的开源工具，用于模拟和评估给水管网系统的性能和恢复力。主要作用包括：模拟水分配系统、恢复力分析、情景分析，以及优化调度等。简单来说，WNTR就是基于Python的高级版EPANET。EPANET中的Patterns是干什么的？在EPANET中，"Patterns"（模式）是用来表示随时间变化的水需求、压力或其他参数的变化模式。模式是一个数组或一系列因子，这些因子用于调整基础需求或其他输入参数，以模拟系统在不同时间段的行为。应用场景：水需求模式：模式通常用于表示水需求的日变化。例如，居民区的用水需求在早晨和傍晚会有高峰，而在夜间会较低。通过设置不同时间段的需求因子，可以精确模拟真实的用水情 ...继续阅读 (31)

引本篇博客介绍一个入门图神经网络（Graph Neural Network, GNN）的例子。严格来说，使用到的技术为图卷积神经网络（Graph Convolution Neural Network, GCN），看名字也就知道它是在卷积神经网络（Convolution Neural Network, CCN）的基础上改进而来。这里先做一个剧透：GCN就是在CNN的过程中加上一个图结构——邻接矩阵（Adjacency Matrix）。如果你已经对传统CNN结构有非常熟悉的了解，那么你可以非常轻松地看懂本篇博客。如果您对CNN和PyTorch还不够熟悉，可以先来看看我的其他博客：「卷积神经网络」深入浅出「Deep Learning」PyTorch初步认识关于图论（Graph Theory, GT）部分的知识，只会涉及到邻接矩阵，下文我会单独再进行讲解，如果你对GT感兴趣，可以参考我的这篇博客：图论入门——从基础概念到NetworkX案例介绍本案例来自《PyTorch深度学习和图神经网络（卷1）》，算是我自己的学习小总结，我在书本附带代码的基础上又进行了一定的优化。本案例的内容呢，主要是利用论文间的相互引用关系，设计一个GCN网络进行论文分类。具体的数据结构与内容会在下文详细介绍。代码实战1. 引包import hues import torch import numpy as np i ...继续阅读 (66)

🔛 引八月初的时候，博导跟我介绍了这个项目，大概内容就是对某市供水管网中的泵站与清水池进行优化调度。第一次博导跟我探讨这个项目的时候，我还是有点忐忑，觉得万一自己干不好岂不是砸了老师的招牌。但是我导说了句特别有安全感的话：没事，只管干吧，搞不出来有我给你兜着！安全感直接拉满，奥里给，干！还得是我导儿。历时4个多月，十几次的每周PPT工作汇报，终于完成了模型的算法设计、实际运维逻辑匹配、数据库输入输出对接、线上部署等工作。在这个项目过程中，也经历过很多次的绝望、失落、喜悦，以及无数次的DEBUG，感觉自己还是学到了很多东西的。这篇博客就来记录下整个项目下来我自己的一些学习与心得体会。在上次的组会过程中，我其实已经进行了一个大概的总结，所以说接下来就按照组会PPT中的内容进行一个记录吧~组会汇报⏱️ 考虑时间成本Quote / 参考面对未知的事物，试错过程需要花费大量时间成本，凡事一定要提前准备，预备好抵抗未知错误的缓冲区。对于任何一件未知的事（这个未知是指没有别人做过类似的事可以给你参考），那么就一定要提前考虑到遇到未知错误所花费的时间成本。在项目开始前，博导说预备时间是两个半月，然后我们就先按两个月的来，给最后留半个月的时间缓冲。我当时觉得时间还是很充裕的。然而实际情况做下来，我们花费了将近4个多月，几乎是原来时间的两倍了。首先是第一个问题：项目开始前一定要做充分的调研，大方向不能 ...继续阅读 (57)

1. 引2023年12月08日，皖A，天气不错，冬季慵懒的午后，是时候来写今年的年终总结了。要降温了，冬天真的来啦~其实今年发生的大部分事都在「你好 2023」中叙述过了，但是作为每年的年终惯例，这个年度总结还是要来水一水的🤪。首先简单总结下今年的生活，忙碌且充实。真的是非常非常非常忙碌……「你好 2023」中采用了记流水账的方式回忆了今年前半年的生活，那么这篇年终总结就换个方式来写✍︎吧~2. 保持身体健康永远是人生中权重最高的任务2022年末，疫情放开，几乎身边所有人都感染了一遍新冠，不知道这是不是人类历史上最严重的一次疫情。疫情放开的时候，因为家里一些事情，不得不每天需要接触很多人。在那一周的时间里，我一直处于反复感染的状态，晚上睡觉吃了药，早上醒来感觉似乎是好了，但是白天一出去接触冷空气就再次发烧。就这样反反复复持续了半个月左右。在疫情之前，我一直对自己的身体特别自信，因为我几乎没有怎么吃过药。甚至一直到疫情，我都觉得凭我的身体条件很容易就可以扛过去。今年算是彻底让现实打醒了我。五一前的一波流感，我中招了，我天真的以为凭我的身体条件扛扛就过去了。结果扛了三天实在是扛不过去，🐱🐱买的奥司他韦💊救了我一命。七月份，一个周日的晚上我出去吃了烧烤，然后那晚还熬了夜，第二天早上起来就得了水痘成年版——疱疹，这个病折磨了我一个多月。九月底在家，一个晚上从县城开车回家，路上开窗吹着秋风听 ...继续阅读 (39)

介绍图（Graph）是一种表示对象之间关系的抽象数据结构。图由节点（Vertex）和边（Edge）组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。图可以用于建模各种实际问题，如社交网络、交通网络、电力网络等。NetworkX是一个用Python编写的库，专门用于创建、操作和研究复杂网络的结构、动态和功能。它提供了简单易用的接口来处理图论和网络结构。NetworkX适用于处理大型网络结构，并提供了许多内置的图算法，如路径寻找、图的构建和修改、节点属性操作等。NetworkX官方文档（网站）：https://networkx.org/；使用pip安装：pip install networkx并回车。基本概念无向图（Undirected Graph）import networkx as nx # 创建一个无向图 G = nx.Graph() # 添加节点 G.add_node(1) G.add_nodes_from([2, 3]) # 添加边 G.add_edge(1, 2) G.add_edges_from([(2, 3), (1, 3)]) # 查看图的节点和边 print("图的节点: ", G.nodes(), "; 图的边: ", G.edges(), '.') # 可视化 nx.draw(G, node_size=500, with_labels=True)控制台输出结果 ...继续阅读 (49)

What's Genetic Algorithm?A Genetic Algorithm (GA) is a type of optimization algorithm that is inspired by the process of natural selection and genetics. GAs are used to find approximate solutions to optimization and search problems, especially in cases where the search space is vast and complex. They are particularly useful when you have a large solution space and don't know the mathematical form of the objective function you're trying to optimize.什么是背包问题？假设我们有一个背包，最多只能装6件物品且物品总重量不超过80，如何才能找到一个组合，可以尽量让装进去的物品总价值最高？物品1物品2物品3物品4物品5物品6重量251520302015价值15510201010这，就是背包问题。GA算法解决背包问题随机初始化种群函数def init ...继续阅读 (52)

引新建这个Markdown文件的时间是2023年08月12日：2023年已经度过了66%，时间真的是太快了。原本打算6月份写今年的年终报告，竟然拖到了现在。最近这段时间确实有点忙。那就趁这个周末，来记录下今年的生活吧。毕业论文预答辩&博士申请材料准备2023年的农历寒假，发生了很多事。具体都记录在了2023农历新年纪实。过完年学校通知3月20号就要进行毕业论文预答辩，因此时间非常紧张，过完年的那几天白天基本都是在疯狂肝论文。回到学校之后，每天的任务也都是疯狂改论文。其中，我的论文还在预答辩的前一个星期被导师指出结构上的问题，进行了大篇幅的修改。那几天，差点要了我的小命。那个时候的我还要准备申请博士的材料，这些东西虽然不怎么需要动脑子，但是却十分麻烦。光是找学校各个部门盖章，有时候都要去四五次才能找到负责人给盖章。学校里面搞行政的，都一个个跟大爷似的。不过幸好都在最后时刻准备好了。预答辩的前一晚，我们几个还是老老实实自己组织去1601办公室进行了一遍预演。关于毕业这件事，其实大家都是很上心的！！！答辩那天，大家也算是有惊无险，顺顺利利通过。感恩各位答辩专家！！！那天晚上跟孝林还有他小舅子一起去翡翠湖大学城吃了饭，感觉自己毕业有望！！！草莓熊最近为什么这么火萧县烤全羊YYDS我记得当时工大的报名材料提交时间是截至到3月1日，2月28号当天我才把材料准备好，慌慌张张打车到工大，然后麻烦我 ...继续阅读 (37)

😀 基本概念离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT），是指傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号做DFT，也应当对其经过周期延拓成为周期信号再进行变换。在实际应用中，通常采用快速傅里叶变换来高效计算DFT。$$ X_k=\sum_{n=0}^{N-1}{x_n\cdot e^{-i2\pi kn/N}}=\sum_{n=0}^{N-1}{x_n[\cos\mathrm{(}2\pi kn/N)-i\cdot \sin\mathrm{(}2\pi kn/N)]} $$🫠 为何需要离散傅立叶变换傅立叶变换本身具有的三个特点：时间的积分长度是无穷的；频率空间是无穷的；函数f(t)是连续的，其本身也包含了无穷多的点。正是因为傅立叶变换中这些“无穷”的特点，导致了其不能在计算机上实现，所以就出现了离散傅立叶变换。现实世界中获得的数据，只能是有限的时间段，且我们只能针对其中有限个点进行采样。那么我们采样得到的数据能让我们对函数原本的形状了解到什么样的程度呢？这个时候就出现了采样定理：设时间连续信号f(t)，其最高截至频率为f_m，如果用时间间隔为T≤1/ ...继续阅读 (38)

六月份初开启了我神经网络相关内容的学习，眨眼间一个月过去了，是时候来总结下自己这个月的学习心得了。卷积层——提取特征卷积核的特点：局部性；平移不变性。卷积的作用在数学上，卷积核的标准定义是两个函数在反转和移位后的乘积的积分：$$ (f*g)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}{f}(\tau )g(t-\tau )d\tau $$B站上面有一位数学老师把这个概念讲的特别清楚，大家可以参考：Bilibili @小元老师高数线代概率：【小动画】彻底理解卷积【超形象】卷的由来，小元老师但是我自己看完觉得即使不去明白数学上的卷积是什么意思，也不影响我们理解深度学习中的卷积（所以说就不用看上面的视频辣！）。最近又花了几天的时间专门去扣了下“卷积”这两个字，总结就是：数学上的卷积与卷积神经网络中的卷积确实在思想上有一定的相似性，但是不能等价于一个概念。不建议大家为了理解卷积神经网络中的“卷积”而去学习数学中的卷积！！！在上面的函数表达式中，函数$g$被称为过滤器(filters)，函数$f$指的是信号/图像。而在卷积神经网络里，卷积核其实也被称为过滤器。与上面公式中不同的是，在卷积神经网络里，它不做反转，而是直接执行逐元素的乘法和加法。之所以在图像处理领域引入了卷积的概念，是因为上个世纪有科学家研究发现，视觉皮层的很多神经元都有一个小的局部感受野，神经元只对有限区域的感受野 ...继续阅读 (53)

定义什么是欧拉公式？$$ e^{i\pi}+1=0 $$这个公式将：$e$：自然对数的底；$i$：虚数的单位；$\pi$：圆周率结合到了一起，优美巧妙，因此也被称为“上帝公式”。Quote / 参考维基百科：欧拉公式。复数i与自然常数e在推导与证明欧拉公式之前，有必要对其中两个重要组成部分：复数——$i$；自然常数——$e$进行复习。复数i复数$i$的定义其实很简单，就是：$$ i^2=-1 $$最初提出复数的那一帮人，就是因为解高次方程的时候会遇到这样的情况：$$ x^2+1=0 $$虽然在我们对于自然数的理解下，这样求解出来的数没有任何实际意义，但是其在数学中却是真实存在的。数学家们之间的解方程大赛对于复数这个在自然界不存在，但是在数学中却是存在的东西，笛卡尔将其命名为Imaginary number——想象中的数字。意义所以，复数在数学中的意义到底应该是什么呢？仅仅就是为了解方程吗🤔？我们又是如何来表达它呢？接下来，让我们通过一个小例子来认识下它：从自然数1开始，将其与$i$相乘，得到了：$$ 1×i=i $$在此基础上，然后再乘一个$i$：$$ 1×i×i=-1 $$可以看到，自然数1再经过两次乘$i$后，完成了反向。如果再乘上两个：$$ 1×i×i×i×i=1 $$之后会发现，1竟然又回到了最初的起点。看到了这里，你的心里可能已经猜到了😆——这个过程，像极了旋转：所以，这 ...继续阅读 (45)

PyTorch的安装、CUDA环境的配置以及Tensor的基本操作请查看「深度学习」PyTorch笔记-01-基础知识。Tensor基本操作创建直接输入值创建Tensor：import torch torch.Tensor([[1, 2], [3, 4]]) Out[3]: tensor([[1., 2.], [3., 4.]])打印Tensor类型：a = torch.Tensor([[1, 2], [3, 4]]) a.type(), type(a) Out[5]: ('torch.FloatTensor', torch.Tensor)创建全为1的Tensor：torch.ones(2, 3) Out[11]: tensor([[1., 1., 1.], [1., 1., 1.]])创建一个与指定Tensor形状相同且全1的Tensor：torch.ones_like(a) Out[12]: tensor([[1., 1.], [1., 1.]])创建全为0的Tensor：torch.zeros(3, 2) Out[13]: tensor([[0., 0.], [0., 0.], [0., 0.]])创建一个与指定Tensor形状相同且全0的Tensor：torch.zeros_l ...继续阅读 (46)

🧪 引经过了很长时间的考虑，终于还是放弃了清华院的工作，决定继续读博深造。想要放弃一件事你会有成千上万个理由；而想要做一件事，只需要一个理由。结合我自己的申请经历，我觉得对于学生来讲最重要的有三点：文章、学校以及个人能力，下面细展开说。因为是结合自己的经历来讲，因此本篇文章具有很大的主观性。文章文章就是申请博士的敲门砖，没有文章寸步难行。对于一个硕士研究生，对其科研能力进行评价最直接的指标就是文章。关于这个指标，申请博士一般没有具体的硬性要求，学校不会直接说必须有几篇SCI才可以报名。但是在材料初审阶段，却是把大家放在一起，进行比较，优胜略汰。不同的学校、不同的专业，没有必要进行对比的必要。例如，四大天坑——生化环材的硕士研究生发表1~2篇SCI1区、2区的顶刊在双非学校也已经不是什么稀奇古怪的事。但是在土木等比较偏向于工程实践的专业或者是基础物理等纯理科的专业，能有一篇中文核心好像就挺厉害了。因此，文章这个指标，最好就是和自己同专业的人比。简单来说，就看和你所在学校与申博院校中同专业学生们都发什么水平的文章，大概有几篇。通过这个对比，来判断自己是否站在了大多人的前列。例如，我所联系的某位环境工程专业顶尖211的导师告诉我，如果想申请他们院的博士生，基本只有二区以上的文章在才有价值。学校无可厚非，对于一个学生最直接的了解，就是其出身学校。但是值得庆幸的是大部分学校的报考条件并没有明 ...继续阅读 (53)

一、什么是梯度下降？1.1 口语化描述一个风和日丽的周末，你成功登顶了泰山之巅，然而此时的喜悦还未尽兴。你却突然感觉肚子一阵隐痛，大事不妙💩。然后，坏消息是最近的厕所也在山下。这个时候你会绞尽脑汁🤔去想，我如何才能找到一条最快的下山路径呢？梯度下降——就是你此时此刻的救星。当你想要尽快下山，在不考虑你人体功能限制的情况下，肯定是沿着最陡峭的路下山最快。然而事实情况是，山上怪石嶙峋，并不是沿着一条直线就可以直接下山。你需要每走一步就判断下，以当前位置来看，哪条路最陡峭（下山最快）。于是乎，就这样你决定走一步算一步，也就是每走到一个位置时，就站在这里稍微停顿一会儿，看接下来最陡峭的一条路该怎么走，……就这样，你以最快的速度下了山，解决了燃眉之急😊。这个每走一步就不断寻找最陡峭路径下山的过程，就是梯度下降。下面来看看梯度下降更加正规的表达吧~1.2 介绍梯度下降法（Gradient Descent）并不是一个机器学习的算法，而是一种基于搜索的最优化方法。其作用就是可以用来最小化一个损失函数。与之相对应的还有一个叫做梯度上升法，其作用是用来最大化一个效用函数。梯度下降其基本思想在于不断地逼近最优点，每一步的优化方向就是梯度的负方向。相反，梯度上升法中，进行优化的方向应该为梯度的方向。梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（ ...继续阅读 (47)

1、初识线性回归所谓线性回归（Linear Regression），其最本质的特点就是可以用来根据已有的数据探究一个（或者多个）自变量与因变量之间的线性关系，从而对未知自变量所对应因变量进行预测。以单个自变量为例：上图中，黄色数据点为真实样本数据，坐标轴横轴表示自变量x，纵轴表示因变量y。观察发现黄色数据点之间具有很强的线性相关关系，那么我们就可以根据已知的数据点，拟合出来一条近似的线性直线（蓝色直线）。有了这条直线，我们就可以输入任意的自变量x来预测到未知的y。举个栗子：我们想要探究修🐶运动距离与消耗馒头的关系。经过对比实验发现：运动距离（km）消耗馒头（个）132536.8修🐶的运动距离与消耗馒头的数量之间好像存在一定的线性关系，那么我们根据这个已有的数据，如果能够得到线性方程$y=ax+b$中的$a$和$b$，可以大概拟合出来一个方程：$$ bread = 2 × Distance_{dogs} + 1 $$有了这个方程，我们就可以对修🐶每次运动结束后，需要补充的馒头数量有了一个大概的估算。某天修🐶跑了10公里，虽然我们以前并没有统计过修🐶跑10公里可以消耗多少馒头的数据，但是我们可以根据拟合的线性公式推测，修🐶大概需要消耗21个馒头。上面所讲述的就一个线性回归问题。简单来说，就是通过一组有线性关系的自变量和因变量，找出其拟合方程的的$a$和$b$，然后即可通过线性方程$y= ...继续阅读 (46)