今天看一个C++的例子，突然看到这个mt19937，起先还以为是什么地方搞错了，怎么会有这个怪的名称呢？这个名称是mt1937? 代表1937年？心里一开始有这个疑问。代码如下：std::random_device rd; std::mt19937 gen(rd()); std::uniform_int_distributiondist(-10, 10); std::vectorv; generate_n(back_inserter(v), 20, bind(dist, gen)); std::cout << "Before sort: "; copy(v.begin(), v.end(), std::ostream_iterator(std::cout, " ")); selection_sort(v.begin(), v.end()); std::cout << "\nAfter sort: "; copy(v.begin(), v.end(), std::ostream_iterator(std::cout, " ")); std::cout << '\n';后来通过查看MSDN以及网络相关的文章，才了解到这个是最新的计算随机数的算法。Mersenne Twister算法译为马特赛特旋转演算法，是伪随机数发生器之一，其主要作用是生 ...继续阅读 (53)

1、定义。DIRECTX9文档中定义,令q为一四元数，theta为绕轴axis旋转的角度，则：q.x = sin(theta/2) * axis.xq.y = sin(theta/2) * axis.yq.z = sin(theta/2) * axis.zq.w = cos(theta/2)可以简单写为：q = [sin(theta/2)axis, sin(theta/2)w] 或者 [x,y,z,w] 或者[v,w]2、负四元数-q 。-q = [-q.x, -q.y, -q.z, -q.w]3D几何意义：轴变换了方向，角度也换了方向，刚好 -q = q。这个特性比较郁闷，在3D中任意方位，都有2种不同的四元数表示方法，竟然不是唯一的。3、单位四元数q = [0,0,0,1].3D几何意义：好像还看不出有什么几何意义。补充：用处是为了表示旋转0角度，一般用在变量初始化，和矩阵的单位初始话一个道理。D3DXQuaternionIdentityD3DXQuaternionIsIdentity4、四元数的长度或者模 ||q||。D3DXQuaternionLengthSq 长度的平方 = x*x + y*y + z*z + w*w;D3DXQuaternionLength 长度，上式的平方根。根据3D中四元数的定义，只有单位长度的四元数才有意义。尽管在DIRECTX中很多公式并不要求单 ...继续阅读 (59)

为 了回答这个问题，先来看看一般关于旋转（面向）的描述方法－欧拉描述法。它使用最简单的x,y,z值来分别表示在x，y，z轴上的旋转角度，其取值为 0-360(或者0-2pi），一般使用roll，pitch，yaw来表示这些分量的旋转值。需要注意的是，这里的旋转是针对世界坐标系说的，这意味着 第一次的旋转不会影响第二、三次的转轴，简单的说，三角度系统无法表现任意轴的旋转，只要一开始旋转，物体本身就失去了任意轴的自主性，这也就导致了万向 轴锁（Gimbal Lock）的问题。鉴于欧拉角插值动画时有错误，因此不能使用欧拉角的方式来进行球面方式插值，相应地，就可以采用四元数的方式来解决这个问题。如果系统还是使用欧拉角表示，要先转换为四元数，然后再进行插值，再转换回来欧拉角表示。四元数的应用范围很广泛，它的定义如下：四元数是简单的超复数。 复数是由实数加上虚数单位 i 组成，其中i^2 = -1。 相似地，四元数都是由实数加上三个虚数单位 i、j、k 组成，而且它们有如下的关系： i^2 = j^2 = k^2 = -1， i^0 = j^0 = k^0 = 1 , 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bk+ cj + di，其中a、b、c 、d是实数。对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正 ...继续阅读 (63)

Gimbal LockWhat's Gimbal Lock?Gimbal lock is the phenomenon of two rotational axis of an object pointing in the same direction. Actually, if two axis of the object become aligned, then we say that there's a gimbal lock. In other words, a rotation in one axis could 'override' a rotation in another, making you lose a degree of freedom.前面已经说了，使用三个角度表示一个旋转就可以理解为欧拉角了，这种定义未免太宽泛，并没有多大的实际意义。所以使用欧拉角的时候需要很多的规定，我们的欧拉角：动态定义，围绕载体坐标系旋转旋转顺序，Z–>X–>Y（旋转顺序没有统一规定，不过在不同的领域可能有不同的使用习惯）范围：两个0-2Pi，一个0-Pi如果不定义旋转的顺序，就会出现一组欧拉角对应多个空间点，也就是对应多个旋转（规定了顺序也会出现，下面会讲到）。举例：比如：（45，45，45）这个欧拉角组，大家可以拿一个物体试一下，将XYZ三个轴以不同的顺序旋转得到的最终位置是不 ...继续阅读 (62)

什么是欧拉角？用一句话说，欧拉角就是物体绕坐标系三个坐标轴(x,y,z轴）的旋转角度。在这里，坐标系可以是世界坐标系，也可以是物体坐标系，旋转顺序也是任意的，可以是xyz,xzy,yxz,zxy,yzx,zyx中的任何一种，甚至可以是xyx,xyy,xzz,zxz等等等等。。。。。。所以说欧拉角多种多样。欧拉角可分为两种情况：1，静态：即绕世界坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴保持静止，所以称为静态。2，动态：即绕物体坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴随着物体做相同的转动，所以称为动态。对于分别绕三个坐标轴旋转的情况，下述定理成立：物体的任何一种旋转都可分解为分别绕三个轴的旋转，但分解方式不唯一。如：假设绕y轴旋转为heading，绕x轴旋转为pitch，绕z轴旋转为bank，则先heading45°再pitch90°等价于先pitch90°再bank45°。前面曾提到过，heading-pitch-bank系统不是惟一的欧拉角系统，绕任意三个互相垂直轴的任意旋转序列都能定义一个方位。所以，多种选择导致了欧拉角约定的多样性： 1）heading-pitch-bank系统有两个名称，当然，不同的名字并不代表不同的约定，这其实并不重要，一组常用的术语是roll-pitch-yaw，其中的roll对应与bank，yaw对应于heading，它定义了从物体坐标系 ...继续阅读 (56)

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。根据牛顿迭代的原理，可以得到以下的迭代公式：X(n+1)=[X(n)+p/Xn]/2来看看WIKI：其操作过程：看一段牛人的程序：float ...继续阅读 (53)

特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。1. 求矩阵特征值的方法Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn同时矩阵A的迹是特征值之和：tr（A）=m1+m2+m3+…+mn[1] 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以通过解方程g(m)=0求得。另一种解法：2. 意义我们知道，矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比 ...继续阅读 (58)

在三维空间里，点的变换是通过仿射变换的，所以使用齐次坐标的变换矩阵来变换。不过，当一个点作矩阵M变换时，这个点的法向量是否也可以使用矩阵M来变换呢？答案是不行，只是在特殊的情况是可以，比如没有变形的变换。如果有变形的变换，就需要使用特殊矩阵：M矩阵的逆的转置矩阵。具体的推导过程，可以参考下面的文章：http://blog.csdn.net/dengyibing/article/details/51922356之前看过一些文章，说道mesh顶点的空间变换，从本地坐标系变换到世界坐标系，位置信息是乘以世界矩阵，而点的法向量要变换到世界空间下，是要乘以世界矩阵的逆矩阵的转置矩阵。网上有关于这样做的证明。只是之前在项目中，一开始我并不知道要这样做，都是乘以世界矩阵，但是用于光照方程，或者说计算球形贴图坐标的时候，也并没有出错，最后的效果都是满意的，疑惑了很久。最近翻看《实时计算机图形学》一说，才明白其中原因。因为项目中我用到的世界矩阵中，大部分都是只包括了平移信息和旋转信息，没有去做scale的变换，都是1:1的比例在绘制。问题就在这里，因为法向量是一个方向向量，不是矢量，在变换的过程中，把法向量变为齐次坐标的时候，W分量要设置为0，也就是忽略了平移变换。所以这个世界矩阵就可以看成是一个3*3的旋转举证，而所有的旋转矩阵都是正交矩阵。正交矩阵有一个特性，就是正交举证的逆矩阵等于他的转置矩阵 ...继续阅读 (69)

1. 线性变换设v、w是两个线性空间.一个v至w的线性映射T,就称为v至w的线性变换.线性变换必须满足任意的x,y∈v 及任意实数a,b,有 T（ax+by）=aT（x）+bT(y)如恒等变换 I .v→v,对任意的x∈v,有 I(x)=x因为 I(ax+by)=ax+by= a I(x)+b I(y) 满足 T（ax+by）=aT（x）+bT(y)所以 I 是线性变换.几何上恒等变换不改变图形的大小和位置.其在常用基下对应的矩阵为单位矩阵E.是不是线性变换就通过看是否满足T（ax+by）=aT（x）+bT(y)来验证.同理 旋转变换、伸缩变换（几何上表现为扩大缩小图形 X=kx;Y=ky）、切变变换（几何上表现为X=x+ky;Y=y+kx)、投影变换(投影在x或y轴上）、反射变换（几何上表现为关于某条直线对称）、零变换（O）等都是线性变换.若一个变换是由几个线性变换复合而成,该变换也为线性变换.学到后面基本都是考线性变换对应的矩阵的相关计算及应用.2. 仿射变换一个任意的仿射变换都能表示为 乘以一个矩阵 (线性变换) 接着再 加上一个向量 (平移).综上所述, 我们能够用仿射变换来表示:旋转 (线性变换)平移 (向量加)缩放操作 (线性变换)你现在可以知道, 事实上, 仿射变换代表的是两幅图之间的 关系 .相关的文章：http://blog.csdn.net/u010476094 ...继续阅读 (53)

设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。E为n阶单位矩阵。求逆矩阵的方法：1. 高斯消元法2. 克莱姆法则克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。逆矩阵是经常遇到的一个概念。教科书中讲解了逆矩阵的求法，但是没有说清楚为何需要逆矩阵，逆矩阵的意义是什么。逆矩阵可以类比成数字的倒数，比如数字5的倒数是1/5，矩阵A的“倒数”是A的逆矩阵。5*(1/5)=1, A*（A的逆矩阵） = I，I是单位矩阵。引入逆矩阵的原因之一是用来实现矩阵的除法。比如有矩阵X，A，B，其中X*A = B，我们要求X矩阵的值。本能来说，我们只需要将B/A就可以得到X矩阵了。但是对于矩阵来说，不存在直接相除的概念。我们需要借助逆矩阵，间接实现矩阵的除法。具体的做法是等式两边在相同位置同时乘以矩阵A的逆矩阵，如下所示，X*A*（A的逆矩阵）= B*（A的逆矩阵）。由于A*（A的逆矩阵） = I，即单位矩阵，任何矩阵乘以单位矩阵的结果都是其本身。所 ...继续阅读 (51)

设A为m×n阶矩阵（即m行n列），第i 行j 列的元素是a(i,j)，即：A=a(i,j)定义A的转置为这样一个n×m阶矩阵B，满足B=a(j,i)，即 b (i,j)=a (j,i)（B的第i行第j列元素是A的第j行第i列元素），记A'=B。(有些书记为AT=B，这里T为A的上标）直观来看，将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。1. det(A')=det(A)，即转置矩阵的行列式不变2. 行向量的转置是一个列向量，反之亦然。所有的行向量的集合形成一个向量空间，它是所有列向量集合的对偶空间。3. 首先,列向量和行向量是线性代数的知识点.行向量之所以叫行向量是因为分量是横着排的,列向量之所以叫列向量是因为分量是竖着排的,两者并没有本质区别.n维就是因为向量有n个分量,（1,2,4）就是三维行向量,若将1,2,4竖着写在小括号里,就叫三维列向量4. 向量有两种表达形式，行向量和列向量，对应的矩阵也有行矩阵和列矩阵。采用哪种形式和左右手系无关。行矩阵： 三个轴向量为前三行，最后一行为位移变换 连乘时从左到右接合，左边的变换先应用 变换向量时为vector * matrix列矩阵： 三个轴向量为前三列，最后一列为位移变换 连乘时从右到左接合，右边的变换先应用，注意这和*运算符的接合顺序相反 变换向量 ...继续阅读 (54)

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式是一个数，一个进行特定运算后的得出的数；而矩阵是一个数表，是一系列数的整体。它们（行列式、矩阵、向量组、线性空间）一些属性从定义开始就存在非常大的联系，如：矩阵的秩是最高阶非零子式的维数。因此这也为关于它们的问题之间的转换提供了可能。我觉得行列式与矩阵最主要的联系体现在：|AB| = |A| |B| 。这将两个截然不同的东西联系到了一起，进而推出了后面的定理，如：行列式非零矩阵可逆方阵满秩向量组满秩（向量个数等于维数）。1、矩阵的行列式定义矩阵的行列式，determinate，是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量；二维矩阵[{a,c},{b,d}]的行列式等于：det(A) = ab-cd。2、n维矩阵的行列式假设矩阵A为n维的方阵，定义Aij为从A中删除第i行、第j列之后剩下的n-1维方阵。可以沿着A的第一行来求取行列式：det(A) = a11*A11-a12*A12+...+a1n*A1n，这是一个递 ...继续阅读 (71)

小明今天要做饭，消耗2斤肉，1斤蔬菜。肉每斤20元，蔬菜每斤5元，则一共需多少花费？这个问题的答案很简单：&lt;img src="https://pic1.zhimg.com/0443f0bc0fdafcdb8ae96a032b146a64_b.jpg" data-rawwidth="155" data-rawheight="28" class="content_image" width="155"&gt;我们用向量相乘的方法写出来：&lt;img src="https://pic4.zhimg.com/efebac21d4640086c3d68235857e72f7_b.jpg" data-rawwidth="158" data-rawheight="69" class="content_image" width="158"&gt;如果小明第二天有另一种做饭的方法，需要消耗1斤肉，4斤蔬菜，那么这两种方法的花费各是多少呢？我们显然需要另算这第二种方法的花费。把这个做饭方式写在第二个矩阵（向量是宽度或长度为1的矩阵）里：如果小明第二天有另一种做饭的方法 ...继续阅读 (60)

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合[1] ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。[2] 在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。1. C++标准模板库从入门到精通 http://edu.csdn.net/course/detail/33242.跟老菜鸟学C++http://edu.csdn.net/course/detail/29013. 跟老菜鸟学pythonhttp://edu.csdn.net/course/detail/25924. 在VC2015里学会使用tinyxml库http://edu.csdn.net/course/detail/25905. 在Windows下SVN的版本管理与实战 http://edu.csdn.net/course/detail/25796.V ...继续阅读 (47)

我们不妨回忆一下，矩阵是怎么产生的。矩阵可以看成是一个个向量的有序组合，这说明矩阵可以类比向量；但是向量又是怎么产生的？向量则是一个个数字的有序组合，这又把我们的研究方向指向了“数字是什么”这个问题上。比如，数字1是什么？它可以代表1米，可以代表1千克，也可以代表1分钟、1摄氏度甚至1个苹果。它为什么有这么多的表示意义？答案很简单，因为在本质上，它什么都不是，它就是数字1，一个记号，一个抽象的概念。正因为它抽象，它才可以被赋予各种各样直观的意义！回到矩阵本身，我们才会明白，矩阵的作用如此之大，就是因为书本上那个很枯燥的定义——矩阵就是m行n列的一个数表！它把矩阵抽象出来，让它得到了“进化”。它是一个更一般化的概念：一个向量可以看作一个矩阵，甚至一个数都可以看成一个矩阵，等等。在现实世界里存在三维空间的问题，比如当一架飞机从地面起飞，就会有平移、旋转等动作，如果要描述这架飞机上所有点的坐标变化，需要引入三维空间坐标，这样每一点的变化就需在三个维度上描述，引入线性变换的线性方程组，而处理这些线性方程组，就需要计算系数与三个变量的关系，再加上空间方向引入，就刚好是三维矩阵来处理了。由此可见，矩阵在描述三维物体的运动的变化是一个很合适的工具。同理，矩阵是用来描述运动变化的工具，运动变化再具体一点，就是变换。比如一个物体等比例变大或缩小，这种变化就可采用矩阵来描述。再比如说，仿射变换，就是在 ...继续阅读 (50)

规范正交基是n维欧式空间V中n个两两正交的非零单位向量组成的一个规范正交组。V中的任意向量ξ都可以由V的一组规范正交基{a1,a2,…,an}唯一表示ξ=x11+x22+…+xnn,x1,x2,…,xn是ξ关于基{a1，a2，…，an}的坐标，由于{a1，a2，…，an}是规范正交基，在欧式空间中的许多性质都可以转化为坐标来表示。可见规范正交基的引入大大简化了欧式空间中许多性质的探索，所以，规范正交基的求法是非常值得探索的。正交基: 向量非零, 且两两正交标准正交基:  向量非零, 两两正交, 且向量的长度都是1计算方法采用施密特正交化：详细可以参考这篇文章：http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/451003511. C++标准模板库从入门到精通 http://edu.csdn.net/course/detail/33242.跟老菜鸟学C++http://edu.csdn.net/course/detail/29013. 跟老菜鸟学pythonhttp://edu.csdn.net/course/detail/25924. 在VC2015里学会使用tinyxml库http://edu.csdn.net/course/detail/25905. 在Windows下SVN的版本管理与实战  ht ...继续阅读 (52)

平面方程的三种表示法:点法式、一般式、截距式主要使用点法式方程：1. C++标准模板库从入门到精通 http://edu.csdn.net/course/detail/33242.跟老菜鸟学C++http://edu.csdn.net/course/detail/29013. 跟老菜鸟学pythonhttp://edu.csdn.net/course/detail/25924. 在VC2015里学会使用tinyxml库http://edu.csdn.net/course/detail/25905. 在Windows下SVN的版本管理与实战  http://edu.csdn.net/course/detail/25796.Visual Studio 2015开发C++程序的基本使用 http://edu.csdn.net/course/detail/25707.在VC2015里使用protobuf协议http://edu.csdn.net/course/detail/25828.在VC2015里学会使用MySQL数据库http://edu.csdn.net/course/detail/2672 ...继续阅读 (58)

空间内一点到平面内一点的最小长度叫做点到平面的距离。特别的，当点在平面内，则点到平面的距离为0。平面的一般式方程Ax +By +Cz + D = 0其中n = (A, B, C)是平面的法向量，D是将平面平移到坐标原点所需距离（所以D=0时，平面过原点）向量的模（长度）给定一个向量V（x, y, z),则|V| = sqrt(x * x + y * y + z * z)向量的点积（内积）给定两个向量V1(x1, y1, z1)和V2(x2, y2, z2)则他们的内积是V1V2 = x1x2 + y1y2 + z1z2点到平面的距离有了这条公式，在计算3D空间里的物体是否碰撞，就比较简单了，只要计算物体的边缘是离平面的距离就可以了。1. C++标准模板库从入门到精通 http://edu.csdn.net/course/detail/33242.跟老菜鸟学C++http://edu.csdn.net/course/detail/29013. 跟老菜鸟学pythonhttp://edu.csdn.net/course/detail/25924. 在VC2015里学会使用tinyxml库http://edu.csdn.net/course/detail/25905. 在Windows下SVN的版本管理与实战  http://edu.csdn.net/cou ...继续阅读 (47)

点积有两个特性，一个是可以计算长度，一个是可以计算夹角。利用这两个特性就可以用来解决仿射空间里的一些问题，比如计算圆点P(a, b, 1)，半径为r的圆：根据计算长度的公式，就要写出：（x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2比如三维仿射空间里有一点P（1, 2, 3, 1), 向量v(2, 2,3, 0)，如果需要一个平面是经过P点，同时又与向量v垂直，根据计算夹角公式(Q - P).V = 0，就可以得到这个平面方程：2（x - 1) + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 01. C++标准模板库从入门到精通 http://edu.csdn.net/course/detail/33242.跟老菜鸟学C++http://edu.csdn.net/course/detail/29013. 跟老菜鸟学pythonhttp://edu.csdn.net/course/detail/25924. 在VC2015里学会使用tinyxml库http://edu.csdn.net/course/detail/25905. 在Windows下SVN的版本管理与实战  http://edu.csdn.net/course/detail/25796.Visual Studio 2015开发C++程序的基本使用 http://edu.csd ...继续阅读 (49)

向量的点积,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。设有两个向量：则它们的点积为：可以表示为：X . Y 1)  坐标点到原点的距离公式为：sqrt( X1^2  + X2^2 + .... + Xn^2)所以可以采用向量点积表示： sqrt(V. V)，也就是等于向量与自己本身的点积再开根号。因此在图形学里，计算坐标点到原点的距离，就采用计算点积开根号。2）三维空间座标两点间距离公式： 记A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A,B之间的距离为 d=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2]所以两点之间的距离可以使用向量表示为：设置点P, Q，那么距离等于 向量Q - P的长度，也就是等于sqrt( (Q-P). (Q-P))。3）点积可以表示向量夹角：点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影。根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：     a·b>0    方向基本相同，夹角在0°到90°之间    ...继续阅读 (57)

向量空间的基定义是：一个向量空间 V 最大的线性独立子集,称为这个空间的基.若 V=0,唯一的基是空集.对非零向量空间 V,基是 V 最小的生成集.如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集,那么就称 V 是一个有限维空间.向量空间的所有基拥有相同基数,称为该空间的维度.例如,实数向量空间：R0,R1,R2,R3,…,R∞,…中,Rn 的维度就是 n.设V为向量空间，如果r个向量a1,a2,…,ar∈V，且满足：（i）a1,a2,…,ar线性无关；（ii）V 中任一向量都可由a1,a2,…,ar线性表示，那么向量组a1,a2,…,ar就称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的位数，并称V为r维向量空间。定义一个n维空间，其中有一组n个线性无关的向量，如果该组向量可以表示任何一个该空间内的向量，我们称这一组向量为n维空间的基。将这组基做归一化处理，可以理解为标准基参考文档：http://blog.csdn.net/zengxiaoyao/article/details/515001091. C++标准模板库从入门到精通 http://edu.csdn.net/course/detail/33242.跟老菜鸟学C++http://edu.csdn.net/course/detail/29013. 跟老菜鸟学pythonhttp://edu.csdn.net/cour ...继续阅读 (51)

线性子空间（或向量子空间）在线性代数和相关的数学领域中是重要的。在没有混淆于其他子空间的时候通常简称为“子空间”。设 K 是域(比如实数域)，并设 V 是在 K 上的向量空间。如同平常，我们称 V 的元素为向量并称 K 的元素为标量。假设 W 是 V 的子集。如果 W 自身是带有同 V 一样的向量空间运算的向量空间，则它是 V 的子空间。仿射子空间是一种更一般的空间。对于向量空间V中的一个非空的子集S，如果满足下面的条件，它就被称为仿射子空间：集合S = { u - v  |  u, v是S中的向量｝， S是V的一个线性子空间。仿射空间的点是表示图形里点与点的距离，而向量空间的向量是表示点与点之间的位移和方向的。四维的仿射空间是采用这样表示：（a, b, c, d)，其中d是表示常量1.三维的仿射空间是采用这样表示：（a, b, d)，其中d是表示常量1.仿射空间的点与向量表示形式相似，但它们之间不能进行互换。对于水平面，我们采用x, y来表示，而垂直的轴采用h来表示，那么（x, y , h)就表示了一个仿射空间的平面，在此平面上所画的直线，都可以使用(x,y)所在的空间向量来表示，任何两个向量差都在这个平面里。如果把这个平面进行齐次化，就是把h等于1的点平面，化成齐次坐标（x/h, y/h, 1)。1. C++标准模板库从入门到精通 http://e ...继续阅读 (48)

在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点.设任意两个有序点P、Q对应于n维矢量空间中的一个矢量a，那么过两点的直线方程为：（1-t)P + tQ笛卡尔平面是一个仿射空间，那么空间两点（a,b), (c, d)之间的参数化方程为：L = ｛((1-t)a + tc, (1-t)b + td)  | t是实数｝设P、Q、R为A中任意三点，P、Q对应于矢量a,Q、R对应于矢量b,则P、R对应于矢量a+b.所以三点构成的平面方程：（1 - s)((1-t)P + tQ) + sR1. C++标准模板库从入门到精通 http://edu.csdn.net/course/detail/33242.跟老菜鸟学C++http://edu.csdn.net/course/detail/29013. 跟老菜鸟学pythonhttp://edu.csdn.net/course/detail/25924. 在VC2015里学会使用tinyxml库http://edu.csdn.net/course/detail/25905. 在Windows下SVN的版本管理与实战  http://edu.csdn.net/course/detail/25796.Visual Studio 2015开发C++程序的基本使用 http://ed ...继续阅读 (62)

仿射空间与仿射变换在计算机图形学中有着很重要的应用。在线性空间中，我们用矩阵乘向量的方法，可以表示各式各样的线性变换，完成诸多的功能，但是有一种极其常用的变换却不能用线性变换的方式表示，那就是平移，一个图形的平移是非线性的！（这一点只需要看平移前各点与原点的连线和平移后各点与原点之间的连线可知，或者记平移变换为FF，有F（v1+v2）≠F（v1)+F(v2））。为了表示平移，以及现实世界的描述，就需要使用仿射空间。仿射空间是数学中的几何结构，这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。仿射空间是一个点集，它的定义是：（1）设A为一个点集，A中任意两个有序点P、Q对应于n维矢量空间中的一个矢量a;（2）设P、Q、R为A中任意三点，P、Q对应于矢量a,Q、R对应于矢量b,则P、R对应于矢量a+b.具有上面两个性质的点集A就叫做一个仿射空间。仿射空间和线性空间（向量空间/矢量空间）的区别在于是否有选定的原点。仿射空间中的任何两点的地位等价，而线性空间的原点是个特殊的点。想象你某天醒来发觉自己是在一个旅馆房间里，推门出去一看，外面是个无限长的走廊，走廊两边的房间都一模一样而且没有房间号，那么你就没法打电话让别人知道你的具体位置，因为你缺乏一个参照点。这就是一维仿射空间的例子（如果你把走廊看成线）。可 ...继续阅读 (57)

设Rn为所有n维向量的全体（或n维向量的全体），并在其上定义了向量的加法运算和数乘运算，则称Rn为n维向量空间。其Rn 的每个向量是一个实数的有序排列作成的n元组。|  1 |        |  4 |             | 5 || 2 |    +   |  5 |      =     | 7 || 3 |         |  6 |             | 9|上面表示了R3的两个向量加法。在计算机图形学里，主要关注R2,R3,R4， 也就是2D，3D，4D的空间向量。运算编辑设a=（x1,y1），b=（x2,y2）。加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量的加法OB+OA=OC。a+b=(  ，  )。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 ...继续阅读 (57)

向量 AB（AB上面有→）的大小(或长度）叫做向量的模，记作|AB|(AB上有→）或|a|(a上有→)。向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。 向量空间它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。定义(向量空间)一个 向量空间 是由一些被称为向量的对象构成的非空集合V，在这个集合上定义两个运算，称为加法和标量乘法(标量取实数)，服从以下公理(或法则)，这些公理必须对V中所有向量u，v，w及所有标量c和d均成立。总的来说就是一个集合,有2种运算,满足8条运算律,这样的代数系统就是向量空间.线性变换就是一种映射,V映射到V自身的映射,且保持2种运算u，v之和表示为u+v，仍在V中u+v=v+u(u+v)+w=u+(v+w)V中存在一个零向量0，使得u+0=u对V中每个向量u，存在V中向量-u，使得u+(-u)=0u与标量c的标量乘法记为cu，仍在V中c(u+v)=cu+cv(c+d)u=cu+duc(du)=(cd)u1u=u公理4中的 零向量 是惟一的。对V中每个向 ...继续阅读 (57)

即时战略游戏（Real-Time Strategy Game），简称RTS。游戏是策略游戏（Strategy Game）的一种。游戏是即时进行的，而不是策略游戏多见的回合制。另外玩家在游戏中经常会扮演将军，进行调兵遣将这种宏观操作。尽管即时战略游戏拥有广阔的历史，其中的一部分的知名度远胜过其他同类游戏，尤其是1992年到1998年间由Blizzard Entertainment和Westwood Studios开发的即时战略游戏。1995年，Westwood Studios的《命令与征服》（Command & Conquer）是最早拥有多人对战模式的即时战略游戏，与《命令与征服：红色警戒》（Command and Conquer: Red Alert）一道，成为了最受欢迎的早期竞技游戏。其中，一套《命令与征服》允许两位玩家进行网络对战，因为游戏内附的两片光碟都是可以独立执行的。1997年，Cavedog Entertainment推出的《横扫千军》（Total Annihilation）首次采用了3D单位，并且着重大规模战斗，强调宏观操作。它采用的流线型的界面对此后许多即时战略游戏产生了影响。1998年，Blizzard Entertainment推出了《星际争霸》（StarCraft）。《星际争霸》成为了最受欢迎的即时战略游戏之一。的排位赛推动了即时战略游戏的多人竞技。在 ...继续阅读 (81)

第一人称射击类游戏,FPS(First-person shooting game), 严格来说第一人称射击游戏属于ACT类游戏的一个分支，但和RTS类游戏一样，由于其在世界上的迅速风靡，使之发展成了一个单独的类型。FPS(First-person Shooter)第一人称视角射击游戏，顾名思义就是以玩家的主观视角来进行射击游戏。玩家们不再像别的游戏一样操纵屏幕中的虚拟人物来进行游戏，而是身临其境的体验游戏带来的视觉冲击，这就大大增强了游戏的主动性和真实感。早期第一人称类游戏所带给玩家的一般都是的屏幕光线的刺激，简单快捷的游戏节奏。随着游戏硬件的逐步完善，以及各种游戏的不断结合。第一人称射击类游戏提供了更加丰富的剧情以及精美的画面和生动的音效。Quake中译名为《雷神之锤》，是世界上第一个真正采用多边形渲染技术的3D游戏，也是FPS游戏的原型。自1996年由id Software公司发布后，该游戏获得了巨大的市场成功，共推出了Quake(1996)、Quake Ⅱ（1997）、Quake Ⅲ Arena（1999）、Quake Ⅳ（2005）多个版本。DOOM,中文名 毁灭战士，著名的3D游戏。ID software的产品从 DOOM1到DOOM3 ,到即将出来的DOOM4 一直都走在3D显示技术前端.id Software公司创建这个领域的辉煌时代。1. C++标准模板库从入门到精 ...继续阅读 (43)

RPG= Role-playing Game∶角色扮演游戏 角色扮演的基本概念 从1981年第一款电子RPG游戏软件至今，RPG游戏已经随着电子游戏产业的发展走了三十多年的历程，成为电子游戏发展的一个缩影。 什么是RPG游戏类型呢？英文全称“Role-playing game”，意为“角色扮演游戏”，相对于平台动作游戏和仿真模拟类游戏而言。Role是角色的意思，派生于古典话剧术语，playing则是演出的意思，因此RPG特备指名了对特定角色实施的扮演行为，而扮演也就是对该角色的行为进行模拟。 角色扮演游戏，顾名思义，与其他的游戏最鲜明的特征就是在玩家的“扮演”行为。随着大量桌上角色扮演游戏大量移植电子游戏平台，对近代RPG游戏影响深远的《龙与地下城》创始人Gary Gygax和Dave Arneson，于1983年正式提出现代RPG的核心概念。 Dave Arneson认为，角色扮演游戏区别与其他的娱乐方式的最显著特征，就是更好地或更细致实施角色扮演。他还表述了，话剧演员必须遵循剧本，然后才能对角色扮演负责，演义的好坏取决艺术的塑造力，但RPG娱乐则可以为普通玩家带来更加丰富的扮演元素。Gary Gygax则认为，角色扮演游戏应该具备“角色的可持续性成长”、“行为的数学模型化”和“良好的角色交互机制”三种特性。 现代游戏制作人在讨论RPG的核心要素时，往往认为它是通过以综 ...继续阅读 (61)

在学习游戏编程中，一定会遇到计算机图形学，但计算机图形学是什么呢？怎么样来学习它呢？百度解释：计算机图形学(Computer Graphics，简称CG)是一种使用数学算法将二维或三维图形转化为计算机显示器的栅格形式的科学。简单地说，计算机图形学的主要研究内容就是研究如何在计算机中表示图形、以及利用计算机进行图形的计算、处理和显示的相关原理与算法。中国科技大学 刘利刚老师的解释：http://staff.ustc.edu.cn/~lgliu/Resources/CG/What_is_CG.htm计算机图形学(Computer Graphics，简称CG)是一种使用数学算法将二维或三维图形转化为计算机显示器的栅格形式的科学。 简单地说，计算机图形学的主要研究内容就是研究如何在计算机中表示图形、以及利用计算机进行图形的计算、处理和显示的相关原理与算法。图形通常由点、线、面、体等几何元素和灰度、色彩、线型、线宽等非几何属性组成。从处理技术上来看，图形主要分为两类，一类是基于线条信息表示的，如工程图、等高线地图、曲面的线框图等，另一类是明暗图，也就是通常所说的真实感图形。计算机图形学一个主要的目的就是要利用计算机产生令人赏心悦目的真实感图形。为此，必须建立图形所描述的场景的几何表示，再用某种光照模型，计算在假想的光源、纹理、材质属性下的光照明效果。所以计算机图形学与另一门学科 ...继续阅读 (56)