最近读了一本书：《数学的雨伞下》。阅读体验非常好，这本书用浅显的语言，科普了许多深刻的道理。这本书所介绍的知识结构比较类似我挺喜欢的另一本《从一到无穷大》，但讲解更为细致一些，以至于如果事先明白这些知识，甚至会觉得有些冗长。但细细品味，会觉得理解能更深一层。我在通读完一遍之后，这几天带着儿子精读。重读第一章中“对数之桥”一节时，我思考了一个问题：当年纳皮尔 Napier 到底出于什么动机制作一张高精度对数表，他制表的计算思路是怎样的。书中并没有答案，所以我又在互联网上翻看了当年 Napier 原著Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio的介绍，感觉收获颇丰。制作对数表的直接原因当然是为了简化大数乘除法的计算。对数概念的提出在幂概念建立之前，而现在的数学教学中，一般却是从幂自然推导到对数的。似乎后者才是自然而然的。这应该是因为，古人研究数学，最初是为了解决现实中的问题。所以，乘法必须有对应的几何意义。比如，计算正方形面积需要把计算边长的平方；立方体的体积需要计算边长的立方。更高次的幂却难有对应的几何意义，有理数幂则更为抽象。现实中，也很难碰到极大的数字，超乎寻常的精度需求也很小，除了天文学。人无法以上帝视角在宇宙空间中做测量，只能以地球为基点。所以，天文尺度的计算都依赖三角学。把天文（以及地理这种地球尺度的）数字问题化为三角函数，然后再加以计 ...继续阅读 (6)

在人工智能领域，大模型因其强大的能力和广泛的应用前景备受关注。然而，小模型同样蕴藏着巨大的潜力和机会。本文将从“压缩即智能”的角度出发，探讨小模型在特定领域和垂直行业中的独特优势。为什么要研究语言模型。原因主要有两点：一，乔姆斯基认为，语言是思考的工具。要理解人类的心智，必须研究语言，语言和心智是密切相关，我们的主要观点是“压缩论”，人工智能可以表现为一种压缩的形式。二，语言非常重要。没有语言，人类的高级思考就无法进行。因此，语言不仅是知识的载体，还是一种高度抽象的符号系统。那么，为什么选择语言模型进行研究，而不是研究图像、声音或其他类型的数据呢？很简单，语言文本的数据压缩更方便，也更省钱。我把听课的内容总结了一下，仔细看后发现，历史发展脉络非常有趣，总结起来就是四个字：压缩即智能。01为什么这么说呢？14世纪，英格兰有个逻辑学家，名叫威廉·奥卡姆（约1285年至1349年），他提出了一个很有名的原则，叫做「奥卡姆剃刀」。这个原则的意思是：如果可以用简单的规则来解释一件事情，那么这个简单的解释通常是正确的。听起来可能有点抽象，但很容易懂。中文里有句老话：“如无必要，勿增实体”，讲的就是这个道理。举个例子：在数学里，如果我给你一个数列：1, 2, 3, 5, 8，让你猜下一个数字，你可能会想到是13。因为这个数列是斐波那契数列，每个数字都是前两个数字的和。这个解释很简单，也很合理。那 ...继续阅读 (1)

在我们的 ecs 模块中，有一个重要的内部数据结构是 eid 的数组。它是 Component 结构的一部分，表示每个 Component 属于哪个 Entity 。目前，它是以一个有序的 id 数组实现的。这个数据结构常见的操作分别是：遍历、随机访问、查找 id 所在的位置。一个有序数组可以很好的完成任务。O(1) 的随机访问时间，O(Log N) 的查找时间。我们的 Entity ID 是 48bit 的，我觉得保存 48 或 64bit 的 id 数组有点浪费，且空间越大，实际操作效率也会相应降低。实际上，Entity 的个数不会太多，我觉得限制在 2^24 (一千六百万左右）足够了，所以用了一个间接索引，保存 24bit id ，再用它去索引真正的 entity id 。三个字节保存内部 id 听起来有点别扭，因为内存访问没有对齐。但是 4 字节又略显浪费，2 字节我担心不够用。所以，在上个月时，尝试做了一点优化：将数据按固定 32 (或至多256) 个元素分组。每组 64bits header + 32 * 8bits 。header 保存第一个元素的高 40bits ，后面是每个元素的低 8bits 。每组分为三个区段: 1. 高位相同 2. 高位+1 3. 其它离散数据。header 中用 2 bytes 保存 1,2 区段个数。用 16bits 保存离散数据的 of ...继续阅读 (140)

黄金比例圆做图可以说是设计师的标配技能，有了它，可以让作品上了多个档次！今天程就用这个高级技法来教大家画logo，在学习之前我们先科普下两个知识点。第一，何为黄金比例（分割）？第二，啥是斐波那契数列？下面一起来学习吧！ 第一，何为黄金比例（分割）？ 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。[来源：百度百科] 简单的用线段做个说明，如下：第二，啥是斐波那契数列？ 斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。[来源：百度百科] 那这个数列跟黄金分割又有啥关系呢？ 这里要代入一个简单的公式，如下：就是当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近 0.618）讲到这里，相信不少同学都是下面这个表情了，哈哈哈哈。不过没关系，这些知识代入到logo设计中，就没那么复杂了。 我个人是比较喜欢使用斐波那契数列来画圆的，因为它们的数值都是整数，非常好记。假设第一个圆的直径是1，那么第二个圆的直径就是2，第三个是3，以此类推，后 ...继续阅读 (53)

一生二，二生三，三生万物，世间的万事万物都有其存在的规律，那“天人合一”的“一”到底是什么呢？我们在梁俊老师此次的主旨演讲中找到了答案。12月 30日，在本次的IXDC2022国际体验设计大会上，华为UCD 中心首席设计总监梁俊就“天人合一，和谐共生”的演讲主题上，分享了其在多感官联觉研究实验方面的观点与看法，充分阐述了“设计即调频”的观点。从中西方语境来看，天人合一的“一”各有不同。东方人讲“一”就是大道，而从西方来讲可能是叫规律，那从设计出发，“一”又会有什么样的特别涵义呢？梁俊老师通过讲道理的方式让这一概念变得直观且清晰。梁俊老师从数列展开，以植物为切入点，例如，龙舌兰的内圈是三片叶子，外圈则是5片叶子；格桑花是8片叶子；松果逆时针数有八条生长轮，顺时针数则有13条；向日葵顺时针数有20条生长轮，而逆时针只有三条……所以，通过观察这些大自然的现象，我们会发现数列是特别有意思的。从设计出发，很多设计师都会通过自己的作品去思考自然的规律，从而收获创作的灵感。无论是从数字里面还是自然里面感受到的斐波那数列、黄金角度、分形、声波、克拉尼图形还是柏拉图多面体都是自然界的现象，都大自然本身所具有的客观规律，大自然给出的完美答案。大自然是最伟大的设计师，我们不过是在复制它而已。从旷野平原到深山森林，从大片花海到戈壁绿洲，一切的旖旎景象都可成为我们的搭配灵感。所谓自然的“一“即主讲人提出所有 ...继续阅读 (47)

我正在餐桌前吃早餐。餐桌上有一张圆形的大饼，有一个方形的蛋糕，还有一个甜甜圈。我依次思考了下面三个问题。你能帮我想出它们的答案吗？3 刀切一张圆形的大饼，最多能把它分成多少块？或者说，3 条直线最多能把一个圆盘分成多少个区域？4 刀切一个方形的蛋糕，最多能把它分成多少块？或者说，4 个平面最多能把一个正方体分成多少个区域？3 刀切一个甜甜圈，最多能把它分成多少块？或者说，3 个平面最多能把一个（实心的）环面分成多少个区域？提示：上一个问题的答案总会为下一个问题提供线索。3 刀切一张圆形的大饼，最多能把它分成多少块？或者说，3 条直线最多能把一个圆形分成多少个区域？​这是一个经典的小学问题。答案是 7 块。如图所示，事实上，当直线数分别为 1, 2, 3, 4, 5, …时，最多产生的区域数对应地是 2, 4, 7, 11, 16, …。这背后的规律是：1 条直线能把圆盘分成 2 个区域；第 2, 3, 4, 5, …条直线，则会让区域数增加 2, 3, 4, 5, …个。1 条直线最多能把圆盘分成 2 个区域，这事儿很显然。为什么第 n 条直线会让区域数增加 n 呢？这背后有一个非常简单的解释。前 n − 1 条直线会与第 n 条直线产生最多 n − 1 个交点，把第 n 条直线切成最多 n 段。仔细想想第 n 条直线上的每一段意味着什么——意味着某一个原有区域被细分成了两个新的区 ...继续阅读 (5)

我正在餐桌前吃早餐。餐桌上有一张圆形的大饼，有一个方形的蛋糕，还有一个甜甜圈。我依次思考了下面三个问题。你能帮我想出它们的答案吗？3 刀切一张圆形的大饼，最多能把它分成多少块？或者说，3 条直线最多能把一个圆盘分成多少个区域？4 刀切一个方形的蛋糕，最多能把它分成多少块？或者说，4 个平面最多能把一个正方体分成多少个区域？3 刀切一个甜甜圈，最多能把它分成多少块？或者说，3 个平面最多能把一个（实心的）环面分成多少个区域？提示：上一个问题的答案总会为下一个问题提供线索。3 刀切一张圆形的大饼，最多能把它分成多少块？或者说，3 条直线最多能把一个圆形分成多少个区域？​这是一个经典的小学问题。答案是 7 块。如图所示，事实上，当直线数分别为 1, 2, 3, 4, 5, …时，最多产生的区域数对应地是 2, 4, 7, 11, 16, …。这背后的规律是：1 条直线能把圆盘分成 2 个区域；第 2, 3, 4, 5, …条直线，则会让区域数增加 2, 3, 4, 5, …个。1 条直线最多能把圆盘分成 2 个区域，这事儿很显然。为什么第 n 条直线会让区域数增加 n 呢？这背后有一个非常简单的解释。前 n − 1 条直线会与第 n 条直线产生最多 n − 1 个交点，把第 n 条直线切成最多 n 段。仔细想想第 n 条直线上的每一段意味着什么——意味着某一个原有区域被细分成了两个新的区 ...继续阅读

1417. Reformat The String 链接到标题 重新格式化字符串，使得字母与数字交叉连接，先分别找出字母与数据，使用 zip_longest 来生成交叉后的元组，然后拼接得到目标字符串。 class Solution: def reformat(self, s: str) -> str: a=re.findall(r'\d',s) b=re.findall(r'[a-z]',s) if abs(len(a)-len(b))>1: return '' a,b=sorted([a,b],key=len) return ''.join(map(''.join,itertools.zip_longest(b,a,fillvalue=''))) 1414. Find the Minimum Number of Fibonacci Numbers Whose Sum Is K 链接到标题 参考：https://leetcode-cn.com/problems/find-the-minimum-number-of-fibonacci-numbers-whose-sum-is-k/solution/tan-xin-jian-dan-zheng-ming-by-wyjoutstanding/ 判定性：保证K一定能由斐波那契数组成，数据归纳法可证明 最小性：什么样的组合能最短？ 相邻合 ...继续阅读 (23)

问题描述给定数列 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, …，从第 4 项开始，每项都是前 3 项的和。求第 20190324 项的最后 4 位数字。答案提交这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一 个 4 位整数（提示：答案的千位不为 0），在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。答案4659123456789101112131415161718192021222324252627#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#includeusingnamespacestd;#define MOD 10000intnum[20190324]={1,1,1};intmain(){for(inti=3;i<20190324;i++){num[i]=(num[i-3]+num[i-2])%MOD;num[i]=(num[i-1]+num[i])%MOD;}cout<< ...继续阅读 (38)

2,3,5,7,11,13,….是素数序列。类似：7,37,67,97,127,157 这样完全由素数组成的等差数列，叫等差素数数列。上边的数列公差为30，长度为6。2004年，格林与华人陶哲轩合作证明了：存在任意长度的素数等差数列。 这是数论领域一项惊人的成果！有这一理论为基础，请你借助手中的计算机，满怀信心地搜索：长度为10的等差素数列，其公差最小值是多少？注意：需要提交的是一个整数，不要填写任何多余的内容和说明文字。解题算法123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142#include"iostream"#include"algorithm"usingnamespacestd;typedeflonglongll;boolisprime(intn){//如果数值小于等于1并且大于二且为偶数if(n<=1||(n>2&&n;%2==0)){returnfalse;}//查找最小公倍数对应的偶数序列，是否满足条件for(lli=3;i*i<=n;i+=2){if(n%i==0){returnfalse;}}returntrue;}intmain(){for(intd=2;d<1000;d++){for(lln=2;n<1000;++n){if(isprime(n)&&isprim ...继续阅读 (37)

问题描述Huffman树在编码中有着广泛的应用。在这里，我们只关心Huffman树的构造过程。给出一列数{pi}={p0,p1, …,pn-1}，用这列数构造Huffman树的过程如下：找到{pi}中最小的两个数，设为pa和pb，将pa和pb从{pi}中删除掉，然后将它们的和加入到{pi}中。这个过程的费用记为pa+pb。重复步骤1，直到{pi}中只剩下一个数。在上面的操作过程中，把所有的费用相加，就得到了构造Huffman树的总费用。本题任务：对于给定的一个数列，现在请你求出用该数列构造Huffman树的总费用。例如，对于数列{pi}={5, 3, 8, 2, 9}，Huffman树的构造过程如下：找到{5, 3, 8, 2, 9}中最小的两个数，分别是2和3，从{pi}中删除它们并将和5加入，得到{5, 8, 9, 5}，费用为5。找到{5, 8, 9, 5}中最小的两个数，分别是5和5，从{pi}中删除它们并将和10加入，得到{8, 9, 10}，费用为10。找到{8, 9, 10}中最小的两个数，分别是8和9，从{pi}中删除它们并将和17加入，得到{10, 17}，费用为17。找到{10, 17}中最小的两个数，分别是10和17，从{pi}中删除它们并将和27加入，得到{27}，费用为27。现在，数列中只剩下一个数27，构造过程结束，总费用为5+10+17+27=59。输 ...继续阅读 (29)

问题描述给定一个长度为n的数列，将这个数列按从小到大的顺序排列。1<=n<=200输入格式第一行为一个整数n。 第二行包含n个整数，为待排序的数，每个整数的绝对值小于10000。输出格式输出一行，按从小到大的顺序输出排序后的数列。样例输入58 3 6 4 9样例输出3 4 6 8 9C++算法123456789101112131415161718192021222324252627#include#includeusingnamespacestd;intcmp(inta,intb){returna>n){inta[205];for(inti=0;i>a[i];}sort(a,a+n,cmp);cout<<<' '<< ...继续阅读 (37)

问题描述给出一个包含n个整数的数列，问整数a在数列中的第一次出现是第几个。输入格式第一行包含一个整数n。第二行包含n个非负整数，为给定的数列，数列中的每个数都不大于10000。第三行包含一个整数a，为待查找的数。输出格式如果a在数列中出现了，输出它第一次出现的位置(位置从1开始编号)，否则输出-1。样例输入6 1 9 4 8 3 9 9样例输出2数据规模与约定1 <= n <= 1000。C++代码1234567891011121314151617181920212223#includeusingnamespacestd;constintMAXN=10001;intn,a,ans;ints[MAXN];intmain(){cin>>n;for(inti=0;i>s[i];cin>>a;ans=-1;for(inti=0;i<< ...继续阅读 (33)

问题描述给出n个数，找出这n个数的最大值，最小值，和。输入格式第一行为整数n，表示数的个数。第二行有n个数，为给定的n个数，每个数的绝对值都小于10000。输出格式输出三行，每行一个整数。第一行表示这些数中的最大值，第二行表示这些数中的最小值，第三行表示这些数的和。样例输入5 1 3 -2 4 5样例输出5 -2 11数据规模与约定1 <= n <= 10000。C++代码12345678910111213141516171819#include#include#include#includeusingnamespacestd;intmain(){intn;while(cin>>n){inta[10005];intsum=0;for(inti=0;i<<<<<< ...继续阅读 (31)

问题描述Fibonacci数列的递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=F2=1。当n比较大时，Fn也非常大，现在我们想知道，Fn除以10007的余数是多少。输入格式输入包含一个整数n。输出格式输出一行，包含一个整数，表示Fn除以10007的余数。说明：在本题中，答案是要求Fn除以10007的余数，因此我们只要能算出这个余数即可，而不需要先计算出Fn的准确值，再将计算的结果除以10007取余数，直接计算余数往往比先算出原数再取余简单。样例输入10样例输出55样例输入22样例输出7704数据规模与约定1 <= n <= 1,000,000C++代码123456789101112131415#include#include#define MOD 10007#define MAXN 1000001intn,i,F[MAXN];intmain(){scanf("%d",&n;);F[1]=1;F[2]=1;for(i=3;i<=n;++i)F[i]=(F[i-1]+F[i-2])%MOD;printf("%d\n",F[n]);return0;} ...继续阅读 (28)

斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34第一种：递归function fib(n){ if(n==1||n==2){ return 1; } return fbnq(n-1)+fbnq(n-2); } fbnq(10);第二种：function fb(n){ var res = [1,1]; if(n == 1 || n == 2){ return 1; } for(var i=2;i<=n;i++){ res = a + b; a = b; b = res; } return res; } fb(10);web开发分享声明:本文采用BY-NC-SA协议进行授权 |WEB开发分享转载请注明转自《答案是丰富多彩的4：js实现斐波那契数列》 ...继续阅读 (53)

JavaScript解斐波那契(Fibonacci)数列的实用解法我们经常会在面试题中看到如下题目：输入n，求斐波那契数列的第n项，斐波那契数列的定义如下：F(0)=0, F(1)=1, n>1时，F(n)=F(n-1)+F(n-2)。一种效率很低的解法当遇到这种函数时，我们很容易的想到递归函数，解法如下：function fibonacci(n) { if(n <= 1) {return n}; else { return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2); } }这个方法确实能解决这道题目，但递归的解法并不适合这道题目，用递归解法将会有很严重的效率问题，我们以f(10)为例分析一下原因：由上述图片我们可以看出，要想求得f(10),需要先求得f(8)和f(9)，同样，要想求得f(9)，也要求得f(7)和f(8)。不难看出，树结构当中很多结点是重复的，而且重复的节点数会随着n的增大而急剧增大，这意味着计算量将会随着n的增大而急剧增大。事实上，递归所需的时间复杂度是以n的指数方式递增的，由此我们可以试试当n为100时需要耗费的时间会有多长，这是难以接受的。动态规划解法造成效率低下的主要原因就是重复计算太多，我们只要想个办法避免重复计算即可，这里有个很容易的算法：var fib = 0, fib1 = 0, fib2 = ...继续阅读 (22)

根据高德纳（Donald Ervin Knuth）的《计算机程序设计艺术》（The Art of Computer Programming），1150年印度数学家Gopala和金月在研究箱子包装物件长宽刚好为1和2的可行方法数目时，首先描述这个数列。在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥那多（意大利人斐波那契Leonardo Fibonacci），他描述兔子生长的数目时用上了这数列:第一个月初有一对刚诞生的兔子第二个月之后（第三个月初）它们可以生育每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子兔子永不死去假设在n月有兔子总共a对，n+1月总共有b对。在n+2月必定总共有a+b对：因为在n+2月的时候，前一月（n+1月）的b对兔子可以存留至第n+2月（在当月属于新诞生的兔子尚不能生育）。而新生育出的兔子对数等于所有在n月就已存在的a对费波那契数列由0和1开始，之后的费波那契系数就是由之前的两数相加而得出:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……如果用数学语言来描述大概是下面这个样子：$$F_0 = 0$$$$F_1 = 1$$$$F_n = F_(n-1) + F_(n-2)$$递归求解学过编程的人，第一反应肯定是用递归求解：def fib(n): assert n >= 0, 'input invalid' r ...继续阅读 (13)

在codewars上做了一道斐波那契数列求和的题目，做完之后做了一些简单的优化和用另一种方法实现。题目function fibonacci(n) { if(n==0 || n == 1) return n; return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2); }以上函数使用递归的方式进行斐波那契数列求和，但效率十分低，很多值会重复求值。题目要求使用 memoization方案进行优化。My Solutionmemoization方案在《JavaScript模式》和《JavaScript设计模式》都有提到。memoization是一种将函数执行结果用变量缓存起来的方法。当函数进行计算之前，先看缓存对象中是否有次计算结果，如果有，就直接从缓存对象中获取结果；如果没有，就进行计算，并将结果保存到缓存对象中。let fibonacci = (function() { let memory = [] return function(n) { if(memory[n] !== undefined) { return memory[n] } return memory[n] = (n === 0 || n === 1) ? n : fibonacci(n-1) + fibonacci( ...继续阅读 (20)

问题链接：HDU2009 求数列的和。这是个入门训练题，自然用C语言编写程序。这个数列之和为浮点数。C语言中，浮点数有两种类型，分别是float和double。float可以满足一般的科学计算需求；double表示数的范围更大，精度更高。可以根据实际用途选用类型。程序中，数列求和时，使用while语句控制循环，虽然简洁，但是稍微难懂一些。一般用for语句控制循环，程序相对易懂。AC程序如下：/* HDU2009 求数列的和 */#include <stdio.h>#include <math.h>int main(void){int n, m;double sum, ai;while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {// 初始化设置：第1项sum = n;ai = n;// 数列求和while(--m) { // 更易懂的一般写法：for(i=2; i<=m;i++)ai = sqrt(ai);sum += ai;}// 输出结果printf("%.2f\n", sum);}return 0;} ...继续阅读 (25)

让我们来玩一个游戏。把某个国际象棋棋子放在棋盘上，两人遵循棋子的走法，轮流移动棋子，但只能将棋子往左方、下方或者左下方移动。谁先将棋子移动到棋盘的最左下角，谁就获胜。如果把棋子放在如图所示的位置，那么你愿意先走还是后走？显然，答案与我们放的是什么棋子有关。这个游戏对于兵来说是没有意义的。在如图所示的地方放马或者放象，不管怎样都无法把它移动到棋盘的最左下角，所以我们也就不分析了。因此，我们只需要研究王、后、车三种情况。在国际象棋中，车每次可以横着或竖着走任意多格。在上述游戏中，受到规则的限制，车每次只能向左或者向下走任意多格。如果问题中的棋子是车，答案就非常简单了：你应该选择先走。你应该直接把车移到棋盘对角线上的位置（如左图所示），然后不管对方怎么走，你都把它移回到棋盘的对角线上。这样，你就能保证必胜了。在国际象棋中，王每次可以横着、竖着或者斜着走一格。在上述游戏中，受到规则的限制，王每次只能向左、向下或者向左下方走一格。如果问题中的棋子是王，分析出问题的答案也不算太难：你应该选择先走。你应该直接把王移到棋盘的“奇格”里（如右图所示），然后不管对方怎么走，你都可以把它再次移到某个“奇格”里。这样，你就能保证必胜了。在国际象棋中，皇后每次可以横着、竖着或者斜着走任意多格。在上述游戏中，受到规则的限制，皇后每次只能向左、向下或者向左下方走任意多格。如果问题中的棋子是皇后，那么你应该选择先 ...继续阅读 (17)

SICP 1.1 节「程序设计的基本元素」给出了一个计算平方根的算法，原书并没有给出证明，大概是因为不太适合书的主题，我在此写这个证明只是为了补充书上所缺，满足自己的强迫症，如有错误请指出！证明数学表达如下：对于任意实数 [tex]b>0[/tex]，数列 [tex]a_n[/tex] 的递推公式是 [tex]a_{n+1}=\frac{a_{n}+b/a_{n}}{2}[/tex]，且[tex]a_1=1[/tex]，那么当 n 充分大时，[tex]a_n[/tex] 可以无限接近 [tex]\sqrt{b}[/tex]。下面给出证明。由 [tex]a_{n+1}-a_{n}=\frac{b-a_n^2}{2a_n}[/tex] 可知，当 [tex]a_n<\sqrt{b}[/tex] 时，数列 [tex]a_n[/tex] 是严格递增的；当 [tex]a_n>\sqrt{b}[/tex] 时，数列 [tex]a_n[/tex] 是严格递减的。容易知道，当 b > 1 时，数列 [tex]a_n[/tex] 严格递增且有上界；当 b = 1 时，无疑 [tex]a_n=1[/tex] 恒成立；当 b < 1 时，数列 [tex]a_n[/tex] 严格递减且有下界。因此确信数列 [tex]a_n[/tex] 收敛且存在极限，记作 [tex]a[/te ...继续阅读 (46)

Fibonacci 数列及其计算方法斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，这个数列最早是由印度数学家提出来的。不过更多的人学习到这个数列是因为意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）和他的《Liber Abaci》一书。在这本书中，列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子引出了这个序列，因此这个序列又称为“兔子数列”。这个序列的前几项是这样的：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,⋯在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0F(1)=1F(n)=F(n−1)+F(n−2) ,(n≥2,n∈N)Fibonacci 数列的通项公式Fibonacci 数列除了递归形式之外，当然还可以写出通项公式。下面就来算算F(n)。F(n)=F(n−1)+F(n−2)是典型的线性差分方程，可以用经典的待定系数法来解，当然也可以用Z变换解。考虑到不是每个人都学过Z变换，这里就给个最基本的待定系数法。假设F(n)=C×Wn，C和W是两个待定系数，那么有：Wn=Wn−1+Wn−2化简一下，得到：W2=W+1很显然，W有两个解：W1=1−5√2≈−0.618,W2=1+5√2≈1.618那么F(n)=C1Wn1+C2Wn2也满足F(n)=F(n−1)+F(n−2)。C1,C2可以通过起始条件来确定。F(0)=0= ...继续阅读 (14)

排序算法可以分为内部排序和外部排序，内部排序是数据记录在内存中进行排序，而外部排序是因排序的数据很大，一次不能容纳全部的排序记录，在排序过程中需要访问外存。常见的内部排序算法有：插入排序、希尔排序、选择排序、冒泡排序、归并排序、快速排序、堆排序、基数排序等。本文将依次介绍上述八大排序算法。算法一：插入排序 插入排序示意图插入排序是一种最简单直观的排序算法，它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。算法步骤：1）将第一待排序序列第一个元素看做一个有序序列，把第二个元素到最后一个元素当成是未排序序列。2）从头到尾依次扫描未排序序列，将扫描到的每个元素插入有序序列的适当位置。（如果待插入的元素与有序序列中的某个元素相等，则将待插入元素插入到相等元素的后面。）算法二：希尔排序希尔排序示意图 希尔排序，也称递减增量排序算法，是插入排序的一种更高效的改进版本。但希尔排序是非稳定排序算法。希尔排序是基于插入排序的以下两点性质而提出改进方法的：插入排序在对几乎已经排好序的数据操作时， 效率高， 即可以达到线性排序的效率但插入排序一般来说是低效的， 因为插入排序每次只能将数据移动一位希尔排序的基本思想是：先将整个待排序的记录序列分割成为若干子序列分别进行直接插入排序，待整个序列中的记录“基本有序”时，再对全体记录进行依次直接插 ...继续阅读 (20)

作者：Jacob Bandes-Storch，原文链接，原文日期：2015/08/05译者：Lou；校对：shanks；定稿：shanks这篇博文启发自Code Review.SE上的一个讨论，同时nerd-sniped上的关于数学的有趣的学习。让我对数学和 Swift 的结合有了兴趣。所以我花了一段时间来把这些知识整理成一篇博文，特别是自从我完成了对我网站重建的第一步以后。更重要的是，我希望我能更勤勉的更新我的博客，这8年我只写了一篇而已，希望大家能对我的博客感兴趣。这篇博文的目标对于初学者来讲，比较容易理解，同时也提供给那些已经对这个概念熟悉的人一些有用的细节和例子。希望大家能给我反馈。假设你第一次学习 Swift，你实在是太兴奋了，花了一天时间反复练习，等到第二天就成了专家。于是第二天你就开始传授课程来教别人。当然，我很愿意成为你的第一个学生。我也学的很快，一天学下来，我也可以教别人 Swift 了。我俩继续教别人，其他的学生也学的很快，马上跟上进度，都可以第二天就去教别人。这是个多么让人兴奋的世界呀。但是问题来了，照这样的进度下去，Swift 学习者将大量涌入城市，基础设施将无法支撑庞大的人口。市长叫来最好的科学家们：“我们需要精确的数学模型！每天到底有多少人会使用 Swift？什么时候这种疯狂会终止？”搭建数学模型为了方便理解问题，让我们画一副图来表示最初几天发生的事：仔 ...继续阅读 (13)

大数据时代，不仅需要兼顾海量数据的处理工作，更需要关注如何将数据与结果清晰有效的可视化出来。本文介绍利用当下最流行的数据可视化工具——D3，来操纵数据，让数据自行说话！定义数据——绑定数组定义好一个数组后进行绑定是件比较简单的事情，也是最常见的D3中定义数据的方式。举个例子，我们看到多个数据存在一个数组里时，而此时你想用他们做可视化工作，并且在数组更新时希望可视化图像也随之更新。下面的内容就是介绍如何实现这一效果。当然，我们需要首先定义一个数组元素：var data = [10, 15, 30, 50, 80, 65, 55, 30, 20, 10, 8];然后通过选择器将这些数据与html元素绑定，渲染函数中绑定部分如下：d3.select("body").selectAll("div.h-bar") .data(data) .enter() .append("div") .attr("class", "h-bar") .append("span"); // Update d3.select("body").selectAll("div.h-bar") .data(data) .style("width", function (d) { retu ...继续阅读 (50)

老师：“今天我们来做几道智力题。”观察下面的数列，写出下一个数X：11，0，12，0，X大胖同学：“X等于13。”老师：“回答正确。”小胖同学：“老师，我觉得1也可以。”老师：“说说理由。”小胖：“这个数列可以看成是一块整点报时的钟每隔半小时敲响的次数，过了12点当然是1点。”老师：“嗯，也有道理。再看下面一题。”找出下面数列的规律，写出下一个数X：3，1，4，1，5，X大胖受了上题的启发：“6。这是一块整点报时，半点敲一下的钟 每隔半小时敲响的次数。”小胖：“9也可以。这是圆周率的前几位的数字3.1415926…。”老师：“看来都难不倒你们。这次要拿出我压箱底的题目了。”求X：9，5，2，X，7，0写完这几个胡诌的数字，老师的嘴角露出一丝诡异的笑容。大胖同学马上答到：“4。”老师本以为这次两人总要花点时间，不禁吃惊地问大胖理由。“这是一个小数的前几位，9.52470426。”“什么小数，有什么规律 ？”“没什么规律，它就是一个无理数，一个无限不循环的小数。圆周率可以，它也可以啊 。”“ 好吧，那你为什么选4？”“因为今天星期四，而且4是我的幸运数字 。”“ ……好吧，小胖，你有答案吗？”“老师，随便几都可以。”“ 认真点。”“0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11……用哪一个呢……老师，要不选你的幸运数字吧 。”“ 我的幸运数字是，嗯，6……不，还是8比较好……不能因 ...继续阅读 (21)

Longest Consecutive SequenceGiven an unsorted array of integers, find the length of the longest consecutive elements sequence.For example, Given[100, 4, 200, 1, 3, 2], The longest consecutive elements sequence is[1, 2, 3, 4]. Return its length:4.Your algorithm should run in O(n) complexity.排序法复杂度时间 O(NlogN) 空间 O(1)思路将数组排序后，从前向后遍历，找到最长的连续部分，该方法随不符合题意，但是不用空间。集合法复杂度时间 O(N) 空间 O(N)思路将所有数都加入集合中，然后再遍历这些数，因为我们能O(1)的判断某个数是否在集合中，所以我们可以一个个向上或者向下检查。为了避免之后重复检查，我们每查到一个数，都要将其从集合中移除。这样每遇到一个数，都检查它的上下边界，就能找出最长的连续数列。时间复杂度仍是O(N)，因为我们不会检查不存在于数组的数，而存在于数组的数也只会检查一次。代码public class Solution { public int longestCon ...继续阅读 (22)

关于“排序数列中元素出现次数问题”，这里采用折半法给出两种思路：1、找到元素在数组中的一个索引位置，由于是数组是有序排列，所有在这个位置左右移动，就可以找出其所有出现的位置；2、通过折半法找到元素的最大索引位置与最小索引位置，然后两个索引位置相减再加一，就是元素的出现的次数。方法1中查找元素位置的方法复杂度为O(logn)，左右遍历元素的复杂度为O(n)，所以总的复杂度为O(logn) + k，其中k为元素出现的次数。当n小，k大时不太适合用这种方法。方法2中时间复杂度为O(logn)，但是进行了两次查找，若n较大时也是一个不小的开。所以当n大，k小时，不太适合用这种方法。方法1的PHP代码实现/** @function:折半查找顺序数组中元素出现的位置* @param:顺序排列的数组* @param:要查找的元素* @param: true 查找最大位置， false查找最小位置* @return:返回元素的位置索引，没有返回零*/functionarr_index_value($arr,$num,$flag){$left= 0;$right=count($arr) - 1;while($left<=$right){$mid= (int)(($left+$right)/2);if($arr[$mid] >$num){//注意为了在所有情况下$m ...继续阅读 (13)

斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知。它在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的「达芬奇密码」里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，而在「魔法玩具城」里又是店主在招聘会计时随口问的问题。那么它运用在工业设计中又是怎样一番景象呢？设计癖带你去看看~这个套娃般的嵌套「黄金比例柜」nesting shelf 的设计灵感就源自意大利数学家斐波那契的黄金数列（ 1，1，2，3，5，8，13，21……此数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。随着数列项数的增加，前一项与后一项之比无限接近黄金分割数0.6180339887……）它形成了所谓的「黄金矩形」，打破了老套的对称矩形柜格局，呈现出一系列嵌套的相继变小的单元格。为了满足多功能的需求, 由乌托邦建筑与设计团队的王鹏设计的这套柜子除整体使用外，亦可根据空间或实际需求，打破传统的规格进行组合或拆分。黄金柜的每个单元都可以自由拉出重新排列，也可以完全拆分作为一个边桌，一个书架，一个酒柜，甚至是一个鞋楦。产品：nesting shelf设计：Peng Wang状态：量产Note: There is a poll embedded within this post, please visit the site to participate in this post's poll.除非特别声明，本文版权归设计癖所有，未经授权不得转载，添加152 ...继续阅读 (21)