有评论说我没有正面回答问题,那我就说清楚我到底回答了什么:第一:给出了复数域在数学上的严格定义,从而解释了“为什么把-1的平方根加进实数是一个可行的操作”;第二:解释了“为什么不能把1/0加进实数”,因为这样做会破坏实数的代数结构。你老师没讲清楚。复数相比实数并不单纯是加了个i这么简单,你还得说明加了这个i之后和原有的代数系统是相容的。如果学过抽象代数的话,那复数域可以定义成:R[x]/(x^2+1), 实系数多项式环模掉x^2+1生成的理想。因为x^2+1在实数域上不可约,所以这样模出来是个域,我们把这个域叫做复数域。然后在一般的写法中我们实际上是把多项式环里的x写成了i,然后因为模掉的理想是x^2+1,所以i^2+1=0.题主可以思考一下:有没有必要给i继续开平方,然后把开出来的新元素加到复数域里面,继续扩大数域?答案是没有必要。因为存在一个复数,其平方为i.题主可以想想这个复数具体是多少。很多高中生对这个问题都不能正确理解,总以为对i继续开方会得到复数以外的数。其实不是这样。任何一个复数开任何整数次方,得到的还是一个复数。(针对评论补充一句,我并没有说开方是一个一一映射,我的意思是存在一个复数,其n次方为原来的复数,并没有说“唯一”)这是由复数的代数闭的性质保证的(但是这并不是代数闭的定义。代数闭是指任意非常数复系数多项式的根仍然是复数,比能开方的性质更强)。实数不是代数闭的
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