以前答过一遍,再写一次吧。注意概率密度只要f(x)=f(2x)就行,不用是均匀分布。第一步就是错的。信封放的钱是个随机变量(我们假设这个变量是连续型随机变量),我们要考虑其概率密度。比如你打开第一个信封看到了100块,你还假设另一个信封有50%概率有50块,50%概率有200块。那么你就假设了,(50,100)的组合和(100,200)的组合有相同的概率(概率密度)。所以钱少的那个信封包含钱数(以下记作M)的概率密度f(x)满足f(x)=f(2x).假设1<M<2的概率是P,那么2<M<4的概率就是2P(这个概率就是f(x)在2到4上积分),4<M<8的概率是4P。如此一来,1/2^n<M<2^n的概率就是(2^n-1/2^n)P. 如果P大于0,那么当n足够大的时候,这个概率大于1,矛盾。所以P是0。进一步根据概率的连续性(其实就是可列可加性),因为1/2^n<M<2^n的概率是0,令n趋于无穷,得到M>0的概率为0. 所以说,唯一的可能就是两个信封都没钱。离散变量也是一样的道理,如果钱少的信封以正概率P为某个值x,那么也要以相同的概率P取2x,4x,8x,16x...于是总概率大于一,矛盾。奇异型随机变量不太好描述这个问题。要不然,就是前面加粗的假设错了,打开一个信封看到100块,不能说明另一个信封各有50%的概
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